Методы оптимизации Определения. Методы оптимизации определение
Методы оптимизации Определения
Определения
Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчётов методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т.п.
В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. В инженерных задачах их называют проектными параметрами, в экономических задачах параметрами плана. В качестве проектных параметров могут быть: значения линейных размеров объекта, массы объекта, температуры и т.п.
Число проектных параметров
характеризует размерность и степень сложности задачи оптимизации.
Выбор правильного решения или сравнивание двух альтернативных решений проводиться с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества).
В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет экстремум: минимум или максимум.
Целевую функцию можно записать в виде
(8.1)
Примеры целевых функций, встречающихся в экономических и инженерных расчетах: прочность или масса конструкции, мощность установки, объём выпуска продукции, стоимость перевозок грузов, прибыль и т.п.
При =1 целевая функция-функция одной переменной, её график - кривая на плоскости.
При =2 целевая функция-функция двух переменных, её график - поверхности в трёхмерном пространстве.
Целевая функция не всегда может быть представлена в виде формулы. Иногда она может принимать некоторые дискретные значения, задаваться в виде таблицы и т.п. В любом случае, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.
Целевых функций может быть несколько.
Например, при проектировании изделий машиностроения одновременно требуется обеспечить надёжность,материалоёмкость, полезный объём или грузоподъёмность. Некоторые целевые функции могут оказаться несовместимыми. В таких случаях, необходимо вводить приоритет той или иной функции.
Задачи оптимизации можно классифицировать различными способами.
Пирумов: на 3 группы (см. стр. 57)
Турчак: на 2 типа: условие и без условия. Безусловная задача оптимизации
Состоит в отыскании и действительной функции (8.1) от действительных переменных определении соответствующих значений аргументов на некотором подмножестве - мерного пространства.
Обычно рассматриваются задачи минимизации; задачи на поиск к ним легко сводится путём замены знака целевой функции на противоположный. Условные задачи оптимизации или задачи с ограничениями - это задачи, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве . Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.
Ограничения- равенства выражают зависимость между проектными параметрами, отражают законы природы, наличие ресурсов, финансовые требования и т.п.
В результате ограничений область проектирования , определяемая всеми проектными параметрами, может быть существенно уменьшена в соответствии с физической сущностью задачи. Число ограничений – равенство может быть произвольным.
(8.2) В ряде случаев из этих соотношений можно выразить одни проектные параметры через другие, что, в свою очередь, может уменьшить размерность задачи и облегчить её решение.
Аналогично можно вводить ограничения-неравенства:
(8.3) Особенность отыскания решения при наличии ограничений: оптимальное решение может соответствовать либо локальному экстремуму функции внутри области проектирования, либо значению целевой функции на границе области.
Если же ограничений нет, то ищется оптимальное решение на всей области проектирования, т.е. глобальный экстремум. Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследования одного из разделов прикладной математики, математического - программирования.
Пример постановки задачи:
Пусть требуется спроектировать контейнер в форме прямоугольного параллелепипеда объёмом ; желательно израсходовать как можно меньше материала. При постоянной толщине стенок условие уменьшения расходов материала означает, что площадь полной поверхности контейнера должна быть .
Обозначим - рёбер контейнера. Следовательно, задача сводится к минимизации функции
(8.4) Эта функция в данном случае является целевой. Условие - ограничение – равенство. Оно позволяет исключить один параметр
(8.5)
Свели задачу к минимизации функции двух переменных. В результате решения будут найдены значения проектных параметров а потом .
Фактически получилась задача безусловной оптимизации для целевой функции (8.5), так как ограниченное равенство было использовано для исключения параметра .
Можно усложнить задачу, добавив дополнительные условия. Например, потребуем, чтобы данный контейнер имел длину не менее 2 метров.
Получим ограничение-нераенство на один из параметров
(8.5)
Таким образом, получаем условную задачу оптимизации: необходимо минимизировать функцию (8.4), учитывая ограничение-неравенство (8.5), найти оптимизацию значения параметров .
Одномерная оптимизация
Одномерная задача оптимизации формулируется следующим образом: Найти экстремум целевой функции , заданной на множестве , и определить значение проектного параметра , при котором целевая функция принимает экстремальное значение.
Существование решения поставленной задачи вытекает из теоремы Вейерштрасса: Всякая функция , непрерывная на [a,b], принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения, то есть на [a,b]
и :
.
Эта теорема не доказывает единственности решения. Не исключена возможность достижения равных экстремумов сразу в нескольких точках данного отрезка. Такая ситуация например имеет место для периодической функции (например ), рассматриваемой на отрезке, содержащем несколько периодов.
Простейший класс целевых функций случай дифференцируемой функции на [a,b],причём функция задана в виде аналитической зависимости ,и может быть найдено явное выражение для . Нахождение экстремумов таких функций проводят методами дифференциального исчисления, известными из высшей математики: функция может достигать своего наименьшего и наибольшего значения либо в граничных точках [a,b]; либо в точках и , которые обязательно должны быть критическими, то есть =0 в этих точках – это необходимое условие экстремума, для определения наименьшего и наибольшего значений функции на [a,b] нужно вычислить её значения во всех критических точках данного отрезка и в его граничных точках и сравнить полученные значения; наименьшее или наибольшее из них и будет искомым значением.
Пример: Найти наименьшее и наибольшее значения функции на [1,3].
Решение: Найдём производную этой функции
Найдём критические точки:
=0
=0 =0, =2
=0[1,3]
Для анализа оставляем три точки:
=1
=2
=3
Сравнивая полученные величины, находим
Здесь уравнение =0 удалось решить непосредственно. Для более сложных видов необходимо использовать численные методы решения нелинейных уравнений.
Рассмотренный метод, основанный на вычислении производной целевой функции, требует её аналитического представления.
В других случаях, когда целевая функция задана в табличном виде или может быть вычислена при некоторых дискретных значениях аргумента, используют различные методы поиска. Они основаны на вычислениях целевой функции в отдельных точках и выбора среди них наибольшего или наименьшего значений.
Рассмотрим нахождение минимума функции на [a,b]. Предположим, что целевая функция унимодальна, то есть на данном отрезке она имеет только один минимум.
В инженерной практике встречаются именно такие целевые функции.
Погрешность приближённого решения задачи определяется разностью между оптимальным значением проектного параметра и приближением к нему .
Потребуем
(8.6)
заданное допустимое значение
Процесс решения задачи оптимизации методом поиска состоит в последовательном сужении интервала изменения проектного параметра, называемого интервалом неопределённости. В начале процесса оптимизации его длина равна , к концу она должна стать меньше , то есть оптимальное значение проектного параметра должно находиться в интервале неопределённости , причём тогда для выполнения условия (8.6) в качестве приближения к оптимальному значению можно принять любое , например: или или
В последнем ……для выполнения (8.6) достаточно выполнения неравенства
Наиболее простым способом сужения интервала неопределённости является деление его на некоторое число равных частей с последующим вычислением значений целевой функции в точках разбиения.
Пусть число элементарных отрезков
- шаг разбиения
Вычислим значения целевой функции в узлах
Сравнивая полученные значения , найдём среди них наименьшее
Число можно приближённо принять за наименьшее значение целевой функции на [a,b].
Очевидно, для непрерывной , то есть близость к минимуму зависит от числа точек: с увеличением числа точек разбиения погрешность в определении стремиться к нулю.
Этот метод называется методом перебора.
Основная трудность: выбор и оценка погрешности.
Пример: Пусть начальная длина интервала неопределённости равна . Нужно добиться его уменьшения в сто раз. Этого легко достичь разбиением интервала на 200 частей.
Вычислив значения целевой функции , найдём её минимальное значение . Тогда искомым интервалом неопределённости будет .
Но можно сократить число разбиений. Сначала разобьём [a,b] на 20 частей и найдём интервал неопределённости длиной 0,1; при этом мы вычислим значения целевой функции в точках .
Теперь снова разобьём на 20 частей, получим искомый интервал длиной 0,01; причём значения целевой функции вычисляем в точках , так как в точках и значения уже найдены. Таким образом, во втором случае в процессе оптимизации произведено 40 вычислений значений целевой функции против 201 в первом случае.
То есть способ разбиения позволяет существенно уменьшить количество вычислений.
Существует ряд специальных методов поиска оптимизации решений: метод деления отрезка пополам, метод золотого сечения, метод Ньютона и так далее, позволяющие сократить объём вычислений и время поиска.
Метод золотого сечения
На первом шаге процесса оптимизации внутри [] выбираем некоторые точки , и вычисляем значения целевой функции ,.
В данном случае расположен на одном из прилегающих к отрезков: [] или [,].
[,] можно отбросить, сузив первоначальный интервал неопределённости.
Второй шаг проводим на [], где .
Нужно снова выбрать две внутренние точки, но одна из них -- осталась от предыдущего шага, поэтому достаточно выбрать точку , вычислить значение целевой функции и провести сравнение. В данном случае , находиться на отрезке []. Обозначим =, =, снова выбираем одну внутреннюю точку и повторим процедуру сужения интервала неопределённости. Процесс оптимизации продолжаем, пока .
Как мы выбираем внутренние точки на каждом ?
Пусть длина интервала неопределённости равна , а точка деления разбивает его на части и : >, = + .
Золотое сечение интервала неопределённости выбирают так, чтобы отношение длины большего отрезка к длине всего интервала равнялось отношению длины меньшего интервала к длине большего интервала:
(8.7)
Отсюда можно найти точку деления, вычислив отношения: ;
Преобразуем (8.7) и найдём и :
или
так как нас интересует
__________________
Евклид (3в. до н. э.) выполнил задачу деления отрезка в данном отношении с помощью циркуля и линейки.
__________________
Очевидно, что интервал неопределённости можно разделить в соотношении золотого сечения двояко:
и . В данном случае имеем
; ;
;
(8.8)
аналогично,
(8.9)
Начальная длина интервала неопределённости
После первого шага оптимизации получаем новый интервал неопределённости []. Его длина с учётом (8.9)
на втором шаге оптимизации [] также делиться в соотношении золотого сечения. При этом одной из точек деления будет точка .
следует из соотношения
Вторая точка деления выбирается так же, как выбирается точка при делении [], аналогично (8.8) : .
Снова интервал неопределённости уменьшается до размера
по аналогии с (8.8) и (8.9) можно записать координаты точек деления и на -ом шаге оптимизации ()
вычислению подлежит только одна из координат и ; другая берётся с предыдущего шага. При этом длина интервала неопределённости
(8.10)
Процесс оптимизации заканчивается при выполнении условия
В качестве приближения к оптимальному значению можно принять
= или = или
в последнем случае для достижения требуемой точности и выполнения неравенства (8.6) достаточно
www.klevoz.ru
Методы оптимизации Определения
страница 1 Методы оптимизацииОпределения
Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчётов методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т.п.
В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. В инженерных задачах их называют проектными параметрами, в экономических задачах параметрами плана. В качестве проектных параметров могут быть: значения линейных размеров объекта, массы объекта, температуры и т.п.
Число проектных параметров
характеризует размерность и степень сложности задачи оптимизации.
Выбор правильного решения или сравнивание двух альтернативных решений проводиться с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества).
В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет экстремум: минимум или максимум.
Целевую функцию можно записать в виде
(8.1)
Примеры целевых функций, встречающихся в экономических и инженерных расчетах: прочность или масса конструкции, мощность установки, объём выпуска продукции, стоимость перевозок грузов, прибыль и т.п.
При =1 целевая функция-функция одной переменной, её график - кривая на плоскости.
При =2 целевая функция-функция двух переменных, её график - поверхности в трёхмерном пространстве.
Целевая функция не всегда может быть представлена в виде формулы. Иногда она может принимать некоторые дискретные значения, задаваться в виде таблицы и т.п. В любом случае, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.
Целевых функций может быть несколько.
Например, при проектировании изделий машиностроения одновременно требуется обеспечить надёжность,материалоёмкость, полезный объём или грузоподъёмность. Некоторые целевые функции могут оказаться несовместимыми. В таких случаях, необходимо вводить приоритет той или иной функции.
Задачи оптимизации можно классифицировать различными способами.
Пирумов: на 3 группы (см. стр. 57)
Турчак: на 2 типа: условие и без условия. Безусловная задача оптимизации
Состоит в отыскании и действительной функции (8.1) от действительных переменных определении соответствующих значений аргументов на некотором подмножестве - мерного пространства.
Обычно рассматриваются задачи минимизации; задачи на поиск к ним легко сводится путём замены знака целевой функции на противоположный. Условные задачи оптимизации или задачи с ограничениями - это задачи, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве . Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.
Ограничения- равенства выражают зависимость между проектными параметрами, отражают законы природы, наличие ресурсов, финансовые требования и т.п.
В результате ограничений область проектирования , определяемая всеми проектными параметрами, может быть существенно уменьшена в соответствии с физической сущностью задачи. Число ограничений – равенство может быть произвольным.
(8.2) В ряде случаев из этих соотношений можно выразить одни проектные параметры через другие, что, в свою очередь, может уменьшить размерность задачи и облегчить её решение.
Аналогично можно вводить ограничения-неравенства:
(8.3) Особенность отыскания решения при наличии ограничений: оптимальное решение может соответствовать либо локальному экстремуму функции внутри области проектирования, либо значению целевой функции на границе области.
Если же ограничений нет, то ищется оптимальное решение на всей области проектирования, т.е. глобальный экстремум. Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследования одного из разделов прикладной математики, математического - программирования.
Пример постановки задачи:
Пусть требуется спроектировать контейнер в форме прямоугольного параллелепипеда объёмом ; желательно израсходовать как можно меньше материала. При постоянной толщине стенок условие уменьшения расходов материала означает, что площадь полной поверхности контейнера должна быть .
Обозначим - рёбер контейнера. Следовательно, задача сводится к минимизации функции
(8.4) Эта функция в данном случае является целевой. Условие - ограничение – равенство. Оно позволяет исключить один параметр
(8.5)
Свели задачу к минимизации функции двух переменных. В результате решения будут найдены значения проектных параметров а потом .
Фактически получилась задача безусловной оптимизации для целевой функции (8.5), так как ограниченное равенство было использовано для исключения параметра .
Можно усложнить задачу, добавив дополнительные условия. Например, потребуем, чтобы данный контейнер имел длину не менее 2 метров.
Получим ограничение-нераенство на один из параметров
(8.5)
Таким образом, получаем условную задачу оптимизации: необходимо минимизировать функцию (8.4), учитывая ограничение-неравенство (8.5), найти оптимизацию значения параметров .
Одномерная оптимизация
Одномерная задача оптимизации формулируется следующим образом: Найти экстремум целевой функции , заданной на множестве , и определить значение проектного параметра , при котором целевая функция принимает экстремальное значение.
Существование решения поставленной задачи вытекает из теоремы Вейерштрасса: Всякая функция , непрерывная на [a,b], принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения, то есть на [a,b]
и :
.
Эта теорема не доказывает единственности решения. Не исключена возможность достижения равных экстремумов сразу в нескольких точках данного отрезка. Такая ситуация например имеет место для периодической функции (например ), рассматриваемой на отрезке, содержащем несколько периодов.
Простейший класс целевых функций случай дифференцируемой функции на [a,b],причём функция задана в виде аналитической зависимости ,и может быть найдено явное выражение для . Нахождение экстремумов таких функций проводят методами дифференциального исчисления, известными из высшей математики: функция может достигать своего наименьшего и наибольшего значения либо в граничных точках [a,b]; либо в точках и , которые обязательно должны быть критическими, то есть =0 в этих точках – это необходимое условие экстремума, для определения наименьшего и наибольшего значений функции на [a,b] нужно вычислить её значения во всех критических точках данного отрезка и в его граничных точках и сравнить полученные значения; наименьшее или наибольшее из них и будет искомым значением.
Пример: Найти наименьшее и наибольшее значения функции на [1,3].
Решение: Найдём производную этой функции
Найдём критические точки:
=0
=0 =0, =2
=0[1,3]
Для анализа оставляем три точки:
=1
=2
=3
Сравнивая полученные величины, находим
Здесь уравнение =0 удалось решить непосредственно. Для более сложных видов необходимо использовать численные методы решения нелинейных уравнений.
Рассмотренный метод, основанный на вычислении производной целевой функции, требует её аналитического представления.
В других случаях, когда целевая функция задана в табличном виде или может быть вычислена при некоторых дискретных значениях аргумента, используют различные методы поиска. Они основаны на вычислениях целевой функции в отдельных точках и выбора среди них наибольшего или наименьшего значений.
Рассмотрим нахождение минимума функции на [a,b]. Предположим, что целевая функция унимодальна, то есть на данном отрезке она имеет только один минимум.
В инженерной практике встречаются именно такие целевые функции.
Погрешность приближённого решения задачи определяется разностью между оптимальным значением проектного параметра и приближением к нему .
Потребуем
(8.6)
заданное допустимое значение
Процесс решения задачи оптимизации методом поиска состоит в последовательном сужении интервала изменения проектного параметра, называемого интервалом неопределённости. В начале процесса оптимизации его длина равна , к концу она должна стать меньше , то есть оптимальное значение проектного параметра должно находиться в интервале неопределённости , причём тогда для выполнения условия (8.6) в качестве приближения к оптимальному значению можно принять любое , например: или или
В последнем ……для выполнения (8.6) достаточно выполнения неравенства
Наиболее простым способом сужения интервала неопределённости является деление его на некоторое число равных частей с последующим вычислением значений целевой функции в точках разбиения.
Пусть число элементарных отрезков
- шаг разбиения
Вычислим значения целевой функции в узлах
Сравнивая полученные значения , найдём среди них наименьшее
Число можно приближённо принять за наименьшее значение целевой функции на [a,b].
Очевидно, для непрерывной , то есть близость к минимуму зависит от числа точек: с увеличением числа точек разбиения погрешность в определении стремиться к нулю.
Этот метод называется методом перебора.
Основная трудность: выбор и оценка погрешности.
Пример: Пусть начальная длина интервала неопределённости равна . Нужно добиться его уменьшения в сто раз. Этого легко достичь разбиением интервала на 200 частей.
Вычислив значения целевой функции , найдём её минимальное значение . Тогда искомым интервалом неопределённости будет .
Но можно сократить число разбиений. Сначала разобьём [a,b] на 20 частей и найдём интервал неопределённости длиной 0,1; при этом мы вычислим значения целевой функции в точках .
Теперь снова разобьём на 20 частей, получим искомый интервал длиной 0,01; причём значения целевой функции вычисляем в точках , так как в точках и значения уже найдены. Таким образом, во втором случае в процессе оптимизации произведено 40 вычислений значений целевой функции против 201 в первом случае.
То есть способ разбиения позволяет существенно уменьшить количество вычислений.
Существует ряд специальных методов поиска оптимизации решений: метод деления отрезка пополам, метод золотого сечения, метод Ньютона и так далее, позволяющие сократить объём вычислений и время поиска.
Метод золотого сечения
На первом шаге процесса оптимизации внутри [] выбираем некоторые точки , и вычисляем значения целевой функции ,.
В данном случае расположен на одном из прилегающих к отрезков: [] или [,].
[,] можно отбросить, сузив первоначальный интервал неопределённости.
Второй шаг проводим на [], где .
Нужно снова выбрать две внутренние точки, но одна из них -- осталась от предыдущего шага, поэтому достаточно выбрать точку , вычислить значение целевой функции и провести сравнение. В данном случае , находиться на отрезке []. Обозначим =, =, снова выбираем одну внутреннюю точку и повторим процедуру сужения интервала неопределённости. Процесс оптимизации продолжаем, пока .
Как мы выбираем внутренние точки на каждом ?
Пусть длина интервала неопределённости равна , а точка деления разбивает его на части и : >, = + .
Золотое сечение интервала неопределённости выбирают так, чтобы отношение длины большего отрезка к длине всего интервала равнялось отношению длины меньшего интервала к длине большего интервала:
(8.7)
Отсюда можно найти точку деления, вычислив отношения: ;
Преобразуем (8.7) и найдём и :
или
так как нас интересует
__________________
Евклид (3в. до н. э.) выполнил задачу деления отрезка в данном отношении с помощью циркуля и линейки.
__________________
Очевидно, что интервал неопределённости можно разделить в соотношении золотого сечения двояко:
и . В данном случае имеем
; ;
;
(8.8)
аналогично,
(8.9)
Начальная длина интервала неопределённости
После первого шага оптимизации получаем новый интервал неопределённости []. Его длина с учётом (8.9)
на втором шаге оптимизации [] также делиться в соотношении золотого сечения. При этом одной из точек деления будет точка .
следует из соотношения
Вторая точка деления выбирается так же, как выбирается точка при делении [], аналогично (8.8) : .
Снова интервал неопределённости уменьшается до размера
по аналогии с (8.8) и (8.9) можно записать координаты точек деления и на -ом шаге оптимизации ()
;вычислению подлежит только одна из координат и ; другая берётся с предыдущего шага. При этом длина интервала неопределённости
(8.10)
Процесс оптимизации заканчивается при выполнении условия
В качестве приближения к оптимальному значению можно принять
= или = или
в последнем случае для достижения требуемой точности и выполнения неравенства (8.6) достаточно страница 1
www.slonam.ru
Методы оптимизации Определения
страница 1 Методы оптимизацииОпределения
Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчётов методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т.п.
В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. В инженерных задачах их называют проектными параметрами, в экономических задачах параметрами плана. В качестве проектных параметров могут быть: значения линейных размеров объекта, массы объекта, температуры и т.п.
Число проектных параметров
характеризует размерность и степень сложности задачи оптимизации.
Выбор правильного решения или сравнивание двух альтернативных решений проводиться с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества).
В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет экстремум: минимум или максимум.
Целевую функцию можно записать в виде
(8.1)
Примеры целевых функций, встречающихся в экономических и инженерных расчетах: прочность или масса конструкции, мощность установки, объём выпуска продукции, стоимость перевозок грузов, прибыль и т.п.
При =1 целевая функция-функция одной переменной, её график - кривая на плоскости.
При =2 целевая функция-функция двух переменных, её график - поверхности в трёхмерном пространстве.
Целевая функция не всегда может быть представлена в виде формулы. Иногда она может принимать некоторые дискретные значения, задаваться в виде таблицы и т.п. В любом случае, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.
Целевых функций может быть несколько.
Например, при проектировании изделий машиностроения одновременно требуется обеспечить надёжность,материалоёмкость, полезный объём или грузоподъёмность. Некоторые целевые функции могут оказаться несовместимыми. В таких случаях, необходимо вводить приоритет той или иной функции.
Задачи оптимизации можно классифицировать различными способами.
Пирумов: на 3 группы (см. стр. 57)
Турчак: на 2 типа: условие и без условия. Безусловная задача оптимизации
Состоит в отыскании и действительной функции (8.1) от действительных переменных определении соответствующих значений аргументов на некотором подмножестве - мерного пространства.
Обычно рассматриваются задачи минимизации; задачи на поиск к ним легко сводится путём замены знака целевой функции на противоположный. Условные задачи оптимизации или задачи с ограничениями - это задачи, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве . Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.
Ограничения- равенства выражают зависимость между проектными параметрами, отражают законы природы, наличие ресурсов, финансовые требования и т.п.
В результате ограничений область проектирования , определяемая всеми проектными параметрами, может быть существенно уменьшена в соответствии с физической сущностью задачи. Число ограничений – равенство может быть произвольным.
(8.2) В ряде случаев из этих соотношений можно выразить одни проектные параметры через другие, что, в свою очередь, может уменьшить размерность задачи и облегчить её решение.
Аналогично можно вводить ограничения-неравенства:
(8.3) Особенность отыскания решения при наличии ограничений: оптимальное решение может соответствовать либо локальному экстремуму функции внутри области проектирования, либо значению целевой функции на границе области.
Если же ограничений нет, то ищется оптимальное решение на всей области проектирования, т.е. глобальный экстремум. Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследования одного из разделов прикладной математики, математического - программирования.
Пример постановки задачи:
Пусть требуется спроектировать контейнер в форме прямоугольного параллелепипеда объёмом ; желательно израсходовать как можно меньше материала. При постоянной толщине стенок условие уменьшения расходов материала означает, что площадь полной поверхности контейнера должна быть .
Обозначим - рёбер контейнера. Следовательно, задача сводится к минимизации функции
(8.4) Эта функция в данном случае является целевой. Условие - ограничение – равенство. Оно позволяет исключить один параметр
(8.5)
Свели задачу к минимизации функции двух переменных. В результате решения будут найдены значения проектных параметров а потом .
Фактически получилась задача безусловной оптимизации для целевой функции (8.5), так как ограниченное равенство было использовано для исключения параметра .
Можно усложнить задачу, добавив дополнительные условия. Например, потребуем, чтобы данный контейнер имел длину не менее 2 метров.
Получим ограничение-нераенство на один из параметров
(8.5)
Таким образом, получаем условную задачу оптимизации: необходимо минимизировать функцию (8.4), учитывая ограничение-неравенство (8.5), найти оптимизацию значения параметров .
Одномерная оптимизация
Одномерная задача оптимизации формулируется следующим образом: Найти экстремум целевой функции , заданной на множестве , и определить значение проектного параметра , при котором целевая функция принимает экстремальное значение.
Существование решения поставленной задачи вытекает из теоремы Вейерштрасса: Всякая функция , непрерывная на [a,b], принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения, то есть на [a,b]
и :
.
Эта теорема не доказывает единственности решения. Не исключена возможность достижения равных экстремумов сразу в нескольких точках данного отрезка. Такая ситуация например имеет место для периодической функции (например ), рассматриваемой на отрезке, содержащем несколько периодов.
Простейший класс целевых функций случай дифференцируемой функции на [a,b],причём функция задана в виде аналитической зависимости ,и может быть найдено явное выражение для . Нахождение экстремумов таких функций проводят методами дифференциального исчисления, известными из высшей математики: функция может достигать своего наименьшего и наибольшего значения либо в граничных точках [a,b]; либо в точках и , которые обязательно должны быть критическими, то есть =0 в этих точках – это необходимое условие экстремума, для определения наименьшего и наибольшего значений функции на [a,b] нужно вычислить её значения во всех критических точках данного отрезка и в его граничных точках и сравнить полученные значения; наименьшее или наибольшее из них и будет искомым значением.
Пример: Найти наименьшее и наибольшее значения функции на [1,3].
Решение: Найдём производную этой функции
Найдём критические точки:
=0
=0 =0, =2
=0[1,3]
Для анализа оставляем три точки:
=1
=2
=3
Сравнивая полученные величины, находим
Здесь уравнение =0 удалось решить непосредственно. Для более сложных видов необходимо использовать численные методы решения нелинейных уравнений.
Рассмотренный метод, основанный на вычислении производной целевой функции, требует её аналитического представления.
В других случаях, когда целевая функция задана в табличном виде или может быть вычислена при некоторых дискретных значениях аргумента, используют различные методы поиска. Они основаны на вычислениях целевой функции в отдельных точках и выбора среди них наибольшего или наименьшего значений.
Рассмотрим нахождение минимума функции на [a,b]. Предположим, что целевая функция унимодальна, то есть на данном отрезке она имеет только один минимум.
В инженерной практике встречаются именно такие целевые функции.
Погрешность приближённого решения задачи определяется разностью между оптимальным значением проектного параметра и приближением к нему .
Потребуем
(8.6)
заданное допустимое значение
Процесс решения задачи оптимизации методом поиска состоит в последовательном сужении интервала изменения проектного параметра, называемого интервалом неопределённости. В начале процесса оптимизации его длина равна , к концу она должна стать меньше , то есть оптимальное значение проектного параметра должно находиться в интервале неопределённости , причём тогда для выполнения условия (8.6) в качестве приближения к оптимальному значению можно принять любое , например: или или
В последнем ……для выполнения (8.6) достаточно выполнения неравенства
Наиболее простым способом сужения интервала неопределённости является деление его на некоторое число равных частей с последующим вычислением значений целевой функции в точках разбиения.
Пусть число элементарных отрезков
- шаг разбиения
Вычислим значения целевой функции в узлах
Сравнивая полученные значения , найдём среди них наименьшее
Число можно приближённо принять за наименьшее значение целевой функции на [a,b].
Очевидно, для непрерывной , то есть близость к минимуму зависит от числа точек: с увеличением числа точек разбиения погрешность в определении стремиться к нулю.
Этот метод называется методом перебора.
Основная трудность: выбор и оценка погрешности.
Пример: Пусть начальная длина интервала неопределённости равна . Нужно добиться его уменьшения в сто раз. Этого легко достичь разбиением интервала на 200 частей.
Вычислив значения целевой функции , найдём её минимальное значение . Тогда искомым интервалом неопределённости будет .
Но можно сократить число разбиений. Сначала разобьём [a,b] на 20 частей и найдём интервал неопределённости длиной 0,1; при этом мы вычислим значения целевой функции в точках .
Теперь снова разобьём на 20 частей, получим искомый интервал длиной 0,01; причём значения целевой функции вычисляем в точках , так как в точках и значения уже найдены. Таким образом, во втором случае в процессе оптимизации произведено 40 вычислений значений целевой функции против 201 в первом случае.
То есть способ разбиения позволяет существенно уменьшить количество вычислений.
Существует ряд специальных методов поиска оптимизации решений: метод деления отрезка пополам, метод золотого сечения, метод Ньютона и так далее, позволяющие сократить объём вычислений и время поиска.
Метод золотого сечения
На первом шаге процесса оптимизации внутри [] выбираем некоторые точки , и вычисляем значения целевой функции ,.
В данном случае расположен на одном из прилегающих к отрезков: [] или [,].
[,] можно отбросить, сузив первоначальный интервал неопределённости.
Второй шаг проводим на [], где .
Нужно снова выбрать две внутренние точки, но одна из них -- осталась от предыдущего шага, поэтому достаточно выбрать точку , вычислить значение целевой функции и провести сравнение. В данном случае , находиться на отрезке []. Обозначим =, =, снова выбираем одну внутреннюю точку и повторим процедуру сужения интервала неопределённости. Процесс оптимизации продолжаем, пока .
Как мы выбираем внутренние точки на каждом ?
Пусть длина интервала неопределённости равна , а точка деления разбивает его на части и : >, = + .
Золотое сечение интервала неопределённости выбирают так, чтобы отношение длины большего отрезка к длине всего интервала равнялось отношению длины меньшего интервала к длине большего интервала:
(8.7)
Отсюда можно найти точку деления, вычислив отношения: ;
Преобразуем (8.7) и найдём и :
или
так как нас интересует
__________________
Евклид (3в. до н. э.) выполнил задачу деления отрезка в данном отношении с помощью циркуля и линейки.
__________________
Очевидно, что интервал неопределённости можно разделить в соотношении золотого сечения двояко:
и . В данном случае имеем
; ;
;
(8.8)
аналогично,
(8.9)
Начальная длина интервала неопределённости
После первого шага оптимизации получаем новый интервал неопределённости []. Его длина с учётом (8.9)
на втором шаге оптимизации [] также делиться в соотношении золотого сечения. При этом одной из точек деления будет точка .
следует из соотношения
Вторая точка деления выбирается так же, как выбирается точка при делении [], аналогично (8.8) : .
Снова интервал неопределённости уменьшается до размера
по аналогии с (8.8) и (8.9) можно записать координаты точек деления и на -ом шаге оптимизации ()
;вычислению подлежит только одна из координат и ; другая берётся с предыдущего шага. При этом длина интервала неопределённости
(8.10)
Процесс оптимизации заканчивается при выполнении условия
В качестве приближения к оптимальному значению можно принять
= или = или
в последнем случае для достижения требуемой точности и выполнения неравенства (8.6) достаточно страница 1
slonam.ru
Методы оптимизации Определения
Методы оптимизацииОпределения
Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчётов методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т.п.
В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. В инженерных задачах их называют проектными параметрами, в экономических задачах параметрами плана. В качестве проектных параметров могут быть: значения линейных размеров объекта, массы объекта, температуры и т.п.
Число проектных параметров
характеризует размерность и степень сложности задачи оптимизации.
Выбор правильного решения или сравнивание двух альтернативных решений проводиться с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества).
В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет экстремум: минимум или максимум.
Целевую функцию можно записать в виде
(8.1)
^ , встречающихся в экономических и инженерных расчетах: прочность или масса конструкции, мощность установки, объём выпуска продукции, стоимость перевозок грузов, прибыль и т.п.
При =1 целевая функция-функция одной переменной, её график - кривая на плоскости.
При =2 целевая функция-функция двух переменных, её график - поверхности в трёхмерном пространстве.
Целевая функция не всегда может быть представлена в виде формулы. Иногда она может принимать некоторые дискретные значения, задаваться в виде таблицы и т.п. В любом случае, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.
Целевых функций может быть несколько.
Например, при проектировании изделий машиностроения одновременно требуется обеспечить надёжность,материалоёмкость, полезный объём или грузоподъёмность. Некоторые целевые функции могут оказаться несовместимыми. В таких случаях, необходимо вводить приоритет той или иной функции.
Задачи оптимизации можно классифицировать различными способами.
Пирумов: на 3 группы (см. стр. 57)
Турчак: на 2 типа: условие и без условия.
^
Состоит в отыскании и действительной функции (8.1) от действительных переменных определении соответствующих значений аргументов на некотором подмножестве - мерного пространства.
Обычно рассматриваются задачи минимизации; задачи на поиск к ним легко сводится путём замены знака целевой функции на противоположный.
^ - это задачи, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве . Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.
Ограничения- равенства выражают зависимость между проектными параметрами, отражают законы природы, наличие ресурсов, финансовые требования и т.п.
В результате ограничений область проектирования , определяемая всеми проектными параметрами, может быть существенно уменьшена в соответствии с физической сущностью задачи. Число ограничений – равенство может быть произвольным.
(8.2)
В ряде случаев из этих соотношений можно выразить одни проектные параметры через другие, что, в свою очередь, может уменьшить размерность задачи и облегчить её решение.
Аналогично можно вводить ограничения-неравенства:
(8.3)
Особенность отыскания решения при наличии ограничений: оптимальное решение может соответствовать либо локальному экстремуму функции внутри области проектирования, либо значению целевой функции на границе области.
Если же ограничений нет, то ищется оптимальное решение на всей области проектирования, т.е. глобальный экстремум. Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследования одного из разделов прикладной математики, математического - программирования.
^
Пусть требуется спроектировать контейнер в форме прямоугольного параллелепипеда объёмом ; желательно израсходовать как можно меньше материала. При постоянной толщине стенок условие уменьшения расходов материала означает, что площадь полной поверхности контейнера должна быть .
Обозначим - рёбер контейнера. Следовательно, задача сводится к минимизации функции
(8.4)
Эта функция в данном случае является целевой. Условие - ограничение – равенство. Оно позволяет исключить один параметр
(8.5)
Свели задачу к минимизации функции двух переменных. В результате решения будут найдены значения проектных параметров а потом .
Фактически получилась задача безусловной оптимизации для целевой функции (8.5), так как ограниченное равенство было использовано для исключения параметра .
Можно усложнить задачу, добавив дополнительные условия. Например, потребуем, чтобы данный контейнер имел длину не менее 2 метров.
Получим ограничение-нераенство на один из параметров
(8.5)
Таким образом, получаем условную задачу оптимизации: необходимо минимизировать функцию (8.4), учитывая ограничение-неравенство (8.5), найти оптимизацию значения параметров .
Одномерная оптимизация
Одномерная задача оптимизации формулируется следующим образом: Найти экстремум целевой функции , заданной на множестве , и определить значение проектного параметра , при котором целевая функция принимает экстремальное значение.
Существование решения поставленной задачи вытекает из теоремы Вейерштрасса: Всякая функция , непрерывная на [a,b], принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения, то есть на [a,b]
и :
.
Эта теорема не доказывает единственности решения. Не исключена возможность достижения равных экстремумов сразу в нескольких точках данного отрезка. Такая ситуация например имеет место для периодической функции (например ), рассматриваемой на отрезке, содержащем несколько периодов.
Простейший класс целевых функций случай дифференцируемой функции на [a,b],причём функция задана в виде аналитической зависимости ,и может быть найдено явное выражение для . Нахождение экстремумов таких функций проводят методами дифференциального исчисления, известными из высшей математики: функция может достигать своего наименьшего и наибольшего значения либо в граничных точках [a,b]; либо в точках и , которые обязательно должны быть критическими, то есть =0 в этих точках – это необходимое условие экстремума, для определения наименьшего и наибольшего значений функции на [a,b] нужно вычислить её значения во всех критических точках данного отрезка и в его граничных точках и сравнить полученные значения; наименьшее или наибольшее из них и будет искомым значением.
Пример: Найти наименьшее и наибольшее значения функции на [1,3].
Решение: Найдём производную этой функции
Найдём критические точки:
=0
=0 =0, =2
=0[1,3]
Для анализа оставляем три точки:
=1
=2
=3
Сравнивая полученные величины, находим
Здесь уравнение =0 удалось решить непосредственно. Для более сложных видов необходимо использовать численные методы решения нелинейных уравнений.
Рассмотренный метод, основанный на вычислении производной целевой функции, требует её аналитического представления.
В других случаях, когда целевая функция задана в табличном виде или может быть вычислена при некоторых дискретных значениях аргумента, используют различные методы поиска. Они основаны на вычислениях целевой функции в отдельных точках и выбора среди них наибольшего или наименьшего значений.
Рассмотрим нахождение минимума функции на [a,b]. Предположим, что целевая функция унимодальна, то есть на данном отрезке она имеет только один минимум.
В инженерной практике встречаются именно такие целевые функции.
Погрешность приближённого решения задачи определяется разностью между оптимальным значением проектного параметра и приближением к нему .
Потребуем
(8.6)
заданное допустимое значение
Процесс решения задачи оптимизации методом поиска состоит в последовательном сужении интервала изменения проектного параметра, называемого интервалом неопределённости. В начале процесса оптимизации его длина равна , к концу она должна стать меньше , то есть оптимальное значение проектного параметра должно находиться в интервале неопределённости , причём тогда для выполнения условия (8.6) в качестве приближения к оптимальному значению можно принять любое , например: или или
В последнем ……для выполнения (8.6) достаточно выполнения неравенства
Наиболее простым способом сужения интервала неопределённости является деление его на некоторое число равных частей с последующим вычислением значений целевой функции в точках разбиения.
Пусть число элементарных отрезков
- шаг разбиения
Вычислим значения целевой функции в узлах
Сравнивая полученные значения , найдём среди них наименьшее
Число можно приближённо принять за наименьшее значение целевой функции на [a,b].
Очевидно, для непрерывной , то есть близость к минимуму зависит от числа точек: с увеличением числа точек разбиения погрешность в определении стремиться к нулю.
Этот метод называется методом перебора.
Основная трудность: выбор и оценка погрешности.
Пример: Пусть начальная длина интервала неопределённости равна . Нужно добиться его уменьшения в сто раз. Этого легко достичь разбиением интервала на 200 частей.
Вычислив значения целевой функции , найдём её минимальное значение . Тогда искомым интервалом неопределённости будет .
Но можно сократить число разбиений. Сначала разобьём [a,b] на 20 частей и найдём интервал неопределённости длиной 0,1; при этом мы вычислим значения целевой функции в точках .
Теперь снова разобьём на 20 частей, получим искомый интервал длиной 0,01; причём значения целевой функции вычисляем в точках , так как в точках и значения уже найдены. Таким образом, во втором случае в процессе оптимизации произведено 40 вычислений значений целевой функции против 201 в первом случае.
То есть способ разбиения позволяет существенно уменьшить количество вычислений.
Существует ряд специальных методов поиска оптимизации решений: метод деления отрезка пополам, метод золотого сечения, метод Ньютона и так далее, позволяющие сократить объём вычислений и время поиска.
^
На первом шаге процесса оптимизации внутри [] выбираем некоторые точки , и вычисляем значения целевой функции ,.
В данном случае
[,] можно отбросить, сузив первоначальный интервал неопределённости.
Второй шаг проводим на [], где .
Нужно снова выбрать две внутренние точки, но одна из них -- осталась от предыдущего шага, поэтому достаточно выбрать точку , вычислить значение целевой функции и провести сравнение. В данном случае
Как мы выбираем внутренние точки на каждом ?
Пусть длина интервала неопределённости равна , а точка деления разбивает его на части и : >, = + .
^ интервала неопределённости выбирают так, чтобы отношение длины большего отрезка к длине всего интервала равнялось отношению длины меньшего интервала к длине большего интервала:
(8.7)
Отсюда можно найти точку деления, вычислив отношения: ;
Преобразуем (8.7) и найдём и :
или
так как нас интересует
__________________
Евклид (3в. до н. э.) выполнил задачу деления отрезка в данном отношении с помощью циркуля и линейки.
__________________
Очевидно, что интервал неопределённости можно разделить в соотношении золотого сечения двояко:
и . В данном случае имеем
; ;
;
(8.8)
аналогично,
(8.9)
Начальная длина интервала неопределённости
После первого шага оптимизации получаем новый интервал неопределённости []. Его длина с учётом (8.9)
на втором шаге оптимизации [] также делиться в соотношении золотого сечения. При этом одной из точек деления будет точка .
следует из соотношения
Вторая точка деления выбирается так же, как выбирается точка при делении [], аналогично (8.8) : .
Снова интервал неопределённости уменьшается до размера
по аналогии с (8.8) и (8.9) можно записать координаты точек деления и на -ом шаге оптимизации (
;
вычислению подлежит только одна из координат и ; другая берётся с предыдущего шага. При этом длина интервала неопределённости
(8.10)
Процесс оптимизации заканчивается при выполнении условия
В качестве приближения к оптимальному значению можно принять
= или = или
в последнем случае для достижения требуемой точности и выполнения неравенства (8.6) достаточно
zanny.ru
Методы оптимизации, их место в теории исследования операций — Мегаобучалка
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
А.Ю.Щеглов
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Конспект лекций
Санкт-Петербург
Методы оптимизации, их место в теории исследования операций.
Метод оптимизации как дисциплина, представляет собой раздел теории исследования операций, задачей которой является поиск в рамках принятой модели решений, отвечающих экстремальным значениям критерия.
Операцией называется совокупность взаимосогласованных действий направленных на достижение определенной цели. До тех пор, пока цель не определена, нет смысла говорить об операции. Если же цель определена, как правило, есть несколько путей ее достижения, среди которых необходимо найти лучший. Понятие лучший что-либо означает, когда определен показатель или критерий качества выбираемых решений.
Любую операцию можно охарактеризовать следующими составляющими:
- Стратегией (вариант решения) называется допустимый или возможный способ достижения цели.
- Действующими факторами операции называются объективные условия, определяющие ее особенности и влияющие на ее исход.
- Критерием эффективности операции или стратегии называется показатель достигнутого соответствия между полученным результатом и целью операции.
- Состоянием операции в некоторый момент времени называют совокупность ее характеристик проявляющихся в данный момент.
Под параметром стратегии понимается локальное качество операции, обусловливаемое его действующими факторами и учитываемое критерием эффективности стратегии.
Под моделированием параметров (или соответственно моделированием системы) понимается определение зависимостей изменения локальных качеств (или критериев оптимальности) с учетом действующих факторов операции.
Математической моделью операции называются формальные соотношения, устанавливающие связь принятого критерия эффективности с действующими факторами операции.
Решением (ограниченным множеством решений) связанным с выбранной математической моделью называется конкретный набор значений параметров полученных в результате использования этой математической модели.
Схематично этапы исследования операций можно представить следующим образом:
| Содержание этапов | этапы |
| Формулировка цели операции, обоснованный выбор критерия эффективности | |
| Анализ системы с целью: 1. выбор исходного множества стратегий. 2. обоснованный выбор множеством исходных параметров, описывающих стратегию с учетом сформулированной цели операции. | |
| При необходимости моделировании параметров стратегии (построение математической модели параметров) | |
| Построение математической модели операции – получение формальной зависимости, изменения критерия качества от изменения параметров системы. | |
| Получение решения – выбор оптимального набора параметров (соответственно оптимальной стратегии с учетом сформулированной цели операции). |
Место методов оптимизации в общей теории исследования операций – оптимальным образом решение формализованной задачи. Методы оптимизации используются на 4-5, при необходимости на 3.
Системой называется упорядоченная совокупность материальных объектов (элементов) объединенных какими-либо связями (напр. механич, электрич и т.д.) предназначенных для достижения определенной цели.
Если исходить из понятия, что поведение системы есть последовательный ряд операций, то системы можно классифицировать следующим образом:
Детерминированной считается такая система, в которой составные части взаимодействуют друг с другом точно предсказуемым образом. Ее поведение предсказуемо, если известно текущее состояние элементов и законы преобразования циркулирующие между ними.
Вероятностной называют систему, возможное поведение которой и его последствия описываются на языке теории вероятности, здесь знание текущего состояния и особенности взаимной связи элементов не достаточно для однозначного предсказания будущего, что обуславливает необходимость вероятностной оценки.
Игровой является система, осуществляющая разумный выбор своего поведения в будущем. В основе выбора лежат неформальные соображения, руководствоваться которыми может лишь человек.
Другим важным классификационным признаком системы является ее степень сложности. По этому признаку их разделяют на:
- простые состояния, которые не многочисленны и легко поддаются описанию.
- сложные отличающиеся разнообразием внутренних связей, но допускающие их описание.
- крупномасштабные, не поддающиеся какому-либо описанию связей.
Важное место в исследованиях различного характера является структура системы, и возможность ее расчленяемости на подсистемы, каждая из которых может иметь свой критерий эффективности.
Принцип расчленяемости системынаходится, в основе так называемого системного подхода состоящего в том, что задачу оптимизации можно упростить, сформулировав и решив ее для отдельных подсистем с учетом того, в какой мере критерий эффективности подсистемы влияет на критерий эффективности системы в целом.
Эвристика оказывается полезной и независимой при решении задач имеющих не числовую природу или характеризуемых сложностью определения каких-нибудь параметров либо их формализованного сравнения.
Методы оптимизации классифицируются по числу критериев оптимальности. Их подразделяют на однокритериальные либо многокритериальные. В последнем случае при выборе оптимального решения необходимо учитывать уже не один критерий, а их совокупность, как правило, характеризуемых разнородными параметрами, что усложняет их сравнительную оценку. Здесь, как правило, не обойтись без эвристики.
megaobuchalka.ru
