Большая Энциклопедия Нефти и Газа. Оптимизация методом дифференциального исчисления

Оптимизация методом дифференциального исчисления - Справочник химика 21

Оптимизация методом дифференциального исчисления [c.253]

Многие задачи оптимизации успешно решаются с помощью предель ного анализа, основывающегося на нахождении экстремумов шах или min соответствующих функций методами дифференциального исчисления. Рассмотрим этот метод отыскания оптимальных решений на примере. [c.68]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Для нахождения решения по модели с ограничениями в виде равенств и небольшого числа управляемых переменных может быть использовано дифференциальное исчисление, например, метод множителей Лагранжа. В других случаях применяют методы зкспериментальной оптимизации метод случайного поиска, метод многофакторного анализа, одношаговый метод и метод наискорейшего спуска. [c.158]

Аналитическое решение задач оптимизации в зависимости от их сложности производится методами дифференциального исчисления, вариационного исчисления или динамического программирования. Последний метод обладает наиболее широкими возможностями. Применение [c.12]

Прежде чем перейти к изложению отдельных задач оптимального проектирования, необходимо хотя бы коротко коснуться основных. математических методов оптимизации. К классическим методам решения экстремальных задач относятся методы дифференциального и вариационного исчислений. С помощью дифференциального исчисления можно решать дискретные задачи (т. е. задачи с конечным числом параметров) как при отсутствии ограничений, так и при наличии ограничений типа равенств (метод множителей Лагранжа) . [c.129]

Решение этой задачи составляет содержание математической теории оптимизации. Часть математических методов оптимизации — в первую очередь, дифференциальное исчисление и вариационное исчисление — возникли на классическом этапе развития математики. В середине XX века создан целый ряд новых методов линейное программирование, динамическое программирование, нелинейное программирование, принцип максимума. С ними можно познакомиться по работам [23—26]. [c.182]

Формулировка метода динамического программирования показывает, что он используется для максимизации или минимизации функций. Этот метод, однако, не дает алгоритма оптимизации. Представляется возможным использовать другие способы оптимизации, основанные на применении дифференциального исчисления, градиентных методов, метода поиска, метода проверки или даже методов приближенного решения уравнений типа (1) [1]. [c.21]

Большинство практических задач оптимизации не может быть решено методами классического дифференциального и вариационного исчислений, В последние годы получили развитие новые методы, сильно расширившие круг решаемых экстремальных задач. К ним относятся линейное, нелинейное и динамическое программирование и принцип максимума Понтрягина. [c.129]

Такой подход не противопоставляется и не препятствует применению известной линейной модели оптимизации производственной программы НПЗ. Рассчитанные с ее помощью оптимальные суточные производительности трех ведущих установок следует рассматривать как ограничения, в рамках которых реализуются дополнительные возможности максимизации объема чистой прибыли специфическими средствами линейной оптимизации производственной программы При этом предварительное определение нелинейными методами суточ ных производительностей АВТ, каталитического крекинга и рифор минга почти не уменьшает реальное число степеней свободы линейнот модели. Вычислительная техника дифференциального исчисления обес печивает исследование на максимум чистой прибыли всего бесконечно го множества всевозможных сочетаний производительности указанных установок. Решение нелинейной модели оказывается чрезвычайно устойчивым. В то же время линейная оптимизация опирается всего на два-пять вариантов режима работы, которые лишь случайно могут выявить оптимальное сочетание производительности установок в пределах этого важнейшего комплекса. [c.518]

Арис [1, 2] дает введение к использованию динамического программирования для оптимизации дискретных и непрерывных процессов и рассматривает применение этого метода к широкому классу реакторов. Четкое описание способов использования классического вариационного исчисления для определения наилучшего распределения температур в реакторах с принудительным движением потока дано Катцем [5]. Катц показал, что применение динамического программирования к этой задаче приводит к дифференциальному уравнению в частных производных. Рассмотренные в предыдущей главе доклады Хорна посвящены применению градиентного [c.381]

chem21.info

Оптимизация и дифференциальное исчисление - Справочник химика 21

Оптимизация методом дифференциального исчисления [c.253]

chem21.info

Оптимизация методом дифференциального исчисления - Справочник химика 21

из "Введение в моделирование химико технологических процессов Издание 2"

Левые части уравнений (24.1) —функции от факторов Хи Х2. X Поэтому решение системы может дать величины х ОПТ, Х20ПТл Хпопт, являющиеся оптимальными значениями факторов их совокупность определяет оптимальное решение задачи. Если оптимизируется технологический процесс, то этому решению соответствует оптимальный режим. [c.253] Однако в том, что полученные значения действительно оптимальны, нужно убедиться. Необходимо выяснить четыре обстоятельства. [c.253] Рассмотрим некоторые важные задачи оптимизации. [c.253] Оптимальная температура единственной химической реакции. Если химическая реакция проходит без побочных стадий, то удается найти очень простой критерий оптимальности — скорость реакции (см. пример 23.2). [c.253] Таким образом, наш критерий зависит от трех параметров температуры Т и концентраций Сд и св. По-видимому, эти три величины можно было бы избрать в качестве оптимизирующих факторов. Но необходимо учесть, что концентрации с и Св не относятся ко входам рассматриваемой системы. Они сами получаются как результат реакции. Ясно, что для увеличения скорости следовало бы иметь как можно большее значение сд и как можно меньшее Св. Цель же процесса — противоположная увеличить Св и уменьшить сд. Поэтому концентрации нельзя рассматривать как независимые факторы. [c.254] есть лишь один независимый фактор, которым можно влиять на Р температура. Рассматриваемая задача обычно называется задачей об оптимальной температуре химической реакции. [c.254] Но при разных концентрациях влияние температуры может быть различным. Поэтому будем решать задачу в такой постановке. Фиксируем некоторые значения сд и св и при этих значениях найдем оптимальную температуру. Это означает, что концентрации веществ А и В выступают в нашей задаче как ограничения типа равенства. [c.254] Прежде, чем обращаться к формуле (24.1), рассмотрим два случая, когда оптимум можно найти из физических соображений, без расчета. [c.254] Пример 24.1. Оптимальная температура необратимой реакции. [c.255] Реакция сгорания топлива практически необратима. В тех случаях, когда требуется максимальная интенсивность горения, следует поддерживать максимально достижимую температуру. На увеличение этой температуры направлены усилия при конструировании современных топок. [c.255] Если реакция обратима, но эндотермична, т. е. Е Е2, то результат рассуждений — тот же, что и в предыдущем случае. Действительно, с ростом температуры и равновесие сдвигается вправо, и скорость прямой реакции растет. Поэтому оптимум определяется формулой (24.4). [c.255] Пример 24.2. Оптимальная температура эндотермической реакции. [c.255] Открытая еще в XVIII веке Г. Кавендишем, она нашла практическое применение лишь в начале нашего века, когда дешевая гидроэлектроэнергия и разработка дуговых печей позволили поднять Гмакс до 3000 К. Но в дальнейшем этот метод фиксации азота был вытеснен синтезом аммиака. Ныне прямое окисление азота вновь обретает перспективы, что связано с повышением уровня ограничения после появления плазмотронов можно рассчитывать на увеличение его конкурентоспособности. [c.255] Если реакция — обратимая экзотермическая, то к решению потребуется применить иной подход. В этом случае с ростом температуры вначале более существенным будет возрастание скорости прямой реакции обратная еще слишком медленна. При дальнейшем повышении температуры обратная реакция, имеющая большую энергию активации, начинает нагонять прямую. При данном составе существует температура Травн, при которой смесь находится в равновесии, г=0 затем ход реакции смещается влево. [c.255] Где-то посередине имеется температура, при которой суммарная скорость реакции максимальна. Это и есть Т опт. [c.255] ПО уравнению (24.6) Т опт сравнивается с Гмакс, изменение температуры должно определяться этим уравнением. Это положение иллюстрирует кривая 1 на рис. [c.256] Если реакцию проводят в аппарате смешения, то во всем его объеме имеем одну и ту же степень превращения. Ей соответствует одна точка на кривой I (рис. 24.1), соответствующая оптимальной температуре для данного аппарата. [c.256] Реакция 1-го порядка А-единенных реакторах идеального смешения (рис. 24.2). Как оптимально распределить поток между аппаратами Будем считать, что в общем случае объемы аппаратов Уь Уг. — разные и что константы скорости реакции в различных аппаратах ки кг. кп — тоже разные (например, вследствие неодинаковой активности катализатора). [c.256] При оптимальном распределении расход через каждый аппарат пропорционален производительности этого аппарата. Чем больше а,-, тем больше и,-. [c.258] При оптимальном распределении потока концентрации на выходе из всех аппаратов одинаковы. Условие (24.15) позволяет просто осуществлять оптимальное регулирование распределения потока. [c.259]

Вернуться к основной статье

chem21.info

Метода - дифференциальное исчисление - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Метода - дифференциальное исчисление

Cтраница 3

Установив это геометрическое определение понятия ( локальной) кривизны, мы покажем теперь, что методы дифференциального исчисления дают нам возможность фактического вычисления кривизны кривой в любой ее точке. [31]

Теория заполненности Вселенной связана с учением о математической непрерывности, и ее математические методы суть методы дифференциального исчисления, которые являются адекватным выражением отношений непрерывного количества. [32]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления; при оптими-вации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [33]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления; при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [34]

Конечно-разностные методы, лежащие в основе использования современных численных методов, реализуемых с помощью ЭВМ, сохраняют связь с методами дифференциального исчисления. Но, как отмечается в литературе, нет исчерпывающего обоснования математического анализа, с одной стороны, нет и оценок границы взаимопроникновения в пространственно-временном континууме дифференциальных и конечно-разностных методов. [35]

Многие задачи оптимизации успешно решаются с использованием предельного анализа, основанного на нахождении экстремумов max или min соответствующих функций методами дифференциального исчисления. Рассмотрим этот метод отыскания оптимальных решений на примере. [36]

Метод, примененный для исследования равномерной сходимости ряда (36.28) ( исследования на экстремум модуля общего члена или его мажоранты методами дифференциального исчисления), является достаточно общим и часто применяется на практике. Этим методом можно было бы исследовать и равномерную сходимость ряда (36.25), однако примененный выше метод для исследования этого ряда значительно быстрее приводит к цели. [37]

Метод, примененный для установления равномерной сходимости ряда (36.28) ( исследование на экстремум модуля общего члена или его мажоранты методами дифференциального исчисления), является достаточно общим и часто применяется на практике. Этим методом можно было бы исследовать и равномерную сходимость ряда (36.25), однако примененный выше способ исследования этого ряда значительно быстрее приводит к цели. [38]

Многие задачи оптимизации успешно решаются с помощью предель ного анализа, основывающегося на нахождении экстремумов max или min соответствующих функций методами дифференциального исчисления. Рассмотрим этот метод отыскания оптимальных решений на примере. [39]

Для нахождения оценки а2 максимального правдоподобия параметра ст2, максимизирующей функцию L, качественных соображений уже недостаточно, и необходимо прибегнуть к методам дифференциального исчисления. [40]

Другое направление в теории хроматографии, характеризующееся применением метода исчисления конечных разностей, исторически возникло вследствие невозможности получения общих и полных решений задач хроматографии методами дифференциального исчисления, в то время как практика хроматографии уже настоятельно стала требовать разработки достаточно простых и надежных методов расчета хромато-графических колонн. [41]

Ax Bt которая отклоняется от / меньше всех остальных функций. Методы дифференциального исчисления позволяют решить локальную задачу линеаризации. [42]

Тюнен ( 1783 - 1850) в своем замечательном труде Изолированное государство. Используя методы дифференциального исчисления, Тюнен выводит свою знаменитую формулу ( которую он затем повелел написать на его надгробии) для определения заработной платы сельскохозяйственного рабочего: - Ja р, где а - необходимый прожиточный минимум; р - предельный продукт предельного участка. Тюнен дошел даже до известной нам формулы MRP MRC, не пользуясь, конечно, нашими терминами и обозначениями. [43]

Страницы: 1 2 3

www.ngpedia.ru

Метода - дифференциальное исчисление - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Метода - дифференциальное исчисление

Cтраница 1

Методы дифференциального исчисления применяются, главным образом, при рассмотрении таких явлений, при которых состояния тел и их свойства непрерывно изменяются. [1]

Методами дифференциального исчисления установлено, что функция ( 12 - 22) при х а образует максимум, а при х а а - точки перегиба. [2]

Методами дифференциального исчисления установлено, что функция ( 12 - 22) при х а образует максимум, а при х а о - точки перегиба. [3]

Методами дифференциального исчисления [134, 135] легко установить, что выражение для R убывает лишь до х 0 946 / q, где оно имеет минимум Только эта часть кривой и используется на практике. [4]

Поскольку методы дифференциального исчисления известны достаточно хорошо, о них можно только кратко упомянуть и попытаться подчеркнуть лишь сопутствующие им трудности. Эти трудности связаны с тем обстоятельством, что часто требуется отыскать не локальный, а глобальный максимум или минимум. [5]

Обучение методу дифференциального исчисления не должно сводиться к сообщению определения производной и на основе определений вычислениям производной. Чтобы учащиеся убедились, что дифференцирование действительно является методом математического анализа, необходимо рассмотреть различные по фабуле и требованиям задачи из разных областей знаний. [6]

В методе дифференциального исчисления предполагается, что общее приращение функций ( результирующего показателя) различается на слагаемые, где значение каждого из них определяется как произведение соответствующей частной производной на приращение переменной, по которой вычислена данная производная. Рассмотрим задачу нахождения влияния факторов на изменение результирующего показателя методом дифференциального исчисления на примере функции от двух переменных. [7]

Пользуясь методами дифференциального исчисления или более элементарно можно показать, что расход жести на изготовление цилиндрической консервной банки минимален, если высота банки равна ее ширине, то есть диаметру основания. Опираясь на этот результат и не прибегая более к дифференциальному исчислению ( и даже не производя вообще никаких выкладок), доказать, что расход материала на изготовление цилиндрической кастрюли ( без крышки) минимален, если высота кастрюли равна половине ее ширины, то есть радиусу днища. [9]

Изученные нами методы дифференциального исчисления позволяют заранее учитывать особенности поведения данной функции: позволяют определять промежутки возрастания и убывания функции и точки ее экстремумов. Построение графика функции на основе полученных сведений, разумеется, дает уже гораздо более точную геометрическую картину, изображающую ход изменения функции. Однако для еще более полного уточнения графика нам следует научиться определять направление его вогнутости на отдельных участках и находить точки, в которых происходит изменение вогнутости графика. [10]

Изученные нами методы дифференциального исчисления позволяют заранее учитывать особенности поведения данной функции: позволяют определять промежутки возрастания и убывания функции и точки ее экстремумов. Последующее построение графика функции на основе полученных сведений, разумеется, дает уже гораздо более точную геометрическую картину, изображающую ход изменения функции. Однако для еще более полного уточнения графика нам следует научиться определять направление его вогнутости на отдельных участках и находить точки, в которых происходит изменение вогнутости графика. [11]

Там она решается методами дифференциального исчисления. Почему же, спрашивается, нельзя использовать эти методы для решения задач линейного программирования. Дело в том, что методы дифференциального исчисления позволяют определять только такие экстремальные точки, которые находятся строго внутри рассматриваемой области, а не на границе ее. Вот почему методы дифференциального исчисления неприменимы для решения таких задач. [13]

Таким образом, в методе дифференциального исчисления так называемый неразложимый остаток, который интерпретируется как логическая ошибка метода дифференцирования, просто отбрасывается. В этом состоит неудобство дифференцирования для экономических расчетов, в которых, как правило, требуется точный баланс изменения результативного показателя и алгебраической суммы влияния всех факторов. [14]

Страницы: 1 2 3

www.ngpedia.ru

Методы оптимизации / 7 Задача отыскания экстремума функции одной переменной методом дифференциального исчисления

При решении задач на поиск экстремумов функции одного переменного придерживаются следующей схемы рассуждений.

1) Установить область определения функции .

2) Найти ее первую производную.

3) Выяснить, в каких точках из области определения производная обращается в нуль , т.е. найти стационарные точки, и найти значения, при которых функция определена, а производная – нет, т. е. критические точки.

4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения, сделать выводы о характере монотонности.

5) Если при переходе через найденную точку производная знак не меняет, тоне является точкой экстремума; если в окрестности точкислева от нее, а справа, то- точка максимума исходной функции и; если же в окрестностислева исправа, то- точка минимума исходной функции и.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Исследовать функцию на экстремум и монотонность.

Решение. Область определения – множество всех действительных чисел .

1)Находим производную функции:

2)Найдем стационарные и критические точки. Решим уравнение :- стационарная. не существует приили. Эти точки входят в область определения функции, следовательно, являются критическими.

3) Разобьем область определения точками 0, 2, 4 на интервалы,,,, в каждом из которых производная сохраняет знак. Найдем знаки производной в этих интервалах (см. рис.4)

4) Функция убывает в интервалах и, возрастает в интервалахи. Однако можно сделать более сильный вывод. В самом деле, в окрестностях критических точекипроизводная не меняет знака, значит, они не являются точками экстремума. Функция убывает в интервалеи возрастает в интервале.

5) Стационарная точка является точкой минимума. Тогда.

studfiles.net

Дифференциальное исчисление - Справочник химика 21

IV. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков. [c.149]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Основные правила дифференцирования [c.98]

Некоторые формулы дифференциального исчисления [c.101]

Чтобы применить дифференциальное исчисление к решению задачи, необходимо ввести несколько ограничений. Функции f, fi, Gi должны быть дважды непрерывно дифференцируемы и должны удовлетворять условиям Липшица. При заданных векторах входа, проектных переменных и неопределенных параметров выходной вектор определяется единственным образом. [c.216]

П. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. [c.148]

Доказательство первого утверждения опирается на основную теорему дифференциального исчисления. Если г есть функция двух переменных л и г/, то для того, чтобы бесконечно малое изменение г было полным дифференциалом 2, необходимо и достаточно, чтобы в выражении [c.38]

Дадим теперь более конкретное толкование физического смысла величин р , которые были названы химическими потенциалами и которые до сих пор рассматривались просто как коэффициенты пропорциональности между изменением энергии системы dU 11 изменением соответствующего числа молей г-го вещества в системе. Для этого вспомним основную формулу дифференциального исчисления. Если г есть функция многих независимых переменных Xi, х ,. .., [c.49]

Преимущество первого метода состоит в том, что он не требует использования дифференциального исчисления. Однако второй метод более простой и требует меньщей математической интуиции он более широко применяется для решения аналогичных задач. [c.194]

Для решения этой задачи привлекается аппарат дифференциального исчисления. Его применение основано на следующем предположении если абсолютные погрешности ал, достаточно малы в сравнении со значениями самих величин, а функция / [c.838]

Решение этих задач осуществляется с помощью методов дифференциального исчисления. Пусть нам нужно оценить погрешность величины у (например, количества определяемого вещества), являющейся функцией нескольких аргументов хи х ,..х (например, объема и концентрации раствора титранта, объема анализируемого раствора и т. д.) [c.130]

Общая теория ошибок —специальная область прикладной математики, использующая математический аппарат дифференциального исчисления и посвященная различным аспектам оценки погрешностей косвенных измерений. Косвенными принято называть такие измерения, результат которых находится не в ходе прямого эксперимента, а путем расчета с помощью конкретных функциональных зависимостей, у которых в качестве аргументов выступают результаты тех или иных прямых измерений. [c.116]

Для решения поставленных выше задач привлекается математический аппарат дифференциального исчисления. Его применение основано на следующих предположениях если абсолютные ошибки измерения отдельных аргументов Ал ,1 достаточно малы в сравнении с самими величинами л ,-, а функция / непрерывна во всей области измерений, то абсолютная ошибка функции Аг/ тоже мала. Поэтому, если абсолютные ошибки аргументов рассматривать как малые приращения йх,, то соответствующая ошибка функции примет вид йу, а связь между ними будет задана соотношением [c.117]

Это уравнение е должно смущать читателя даже в том случае, если он не научал дифференциального исчисления и не знаком с уравнениями такого вида. Выражение, стоящее в левой части уравнения (10.1), есть скорость данной реакции — уменьшение концентрации реагирующего вещества в единицу времени. Выражение в правой части показывает, что эта скорость уменьшения концентрации пропорциональна самой концентрации, [c.278]

Поскольку число микросостояний велико, W можно рассматривать как непрерывно изменяющуюся величину и можно применить методы дифференциального исчисления. В действительности более удобно находить максимум натурального логарифма от Так как все Мг велики, то вначале мы используем приближенную формулу Стирлинга для исключения факториалов в уравнении (17.1). Формула Стирлинга [c.528]

Пользуясь известной теоремой дифференциального исчисления, можно на- [c.141]

Покажем это на примере произведения двух величин г = ху. Пусть абсолютные погрешности х и у составляют Лх и Ау тогда относительная ощибка будет х = Дх/х (в долях от х) соответственно для у. 5у = Лу/у. Примем (это наиболее частый практический случай), что абсолютные погрешности много меньше самих величин Дх х, Ау у, тогда значения Дх и Ду в математическом плане можно трактовать как дифференциалы Лх к ду к использовать аппарат дифференциального исчисления. Максимальная абсолютная ошибка исследуемого произведения Дг = Д(х.у) = б(х- ) = у йх + хбу. Относительная ошибка произведения 5г = А(ху)/(ху) = (уТаким образом, максимальная относительная ошибка произведения равна сумме относительных ошибок сомножителей. Иначе говоря, она больше, чем относительная ошибка любого из сомножителей. И если один из сомножителей взят с погрешностью 1%, то произведение не может получиться точнее, сколько бы цифр ни высвечивалось на дисплее калькулятора или компьютера. И записывать результат нужно с тем числом значащих цифр, которое отвечает погрешности рассчитанной величины. При этом последняя из записанных цифр указывает абсолютную погрешность если, например, записано 1,25, это означает, что найденная величина равна 1,25 0,01 а если записано 1,250, то, значит (должно означать ), что расчет произведен с большей точностью, и найденная величина равна 1,250 0,001. [c.44]

Метод применения дифференциального исчисления к изучению различных процессов состоит в том, что данный процесс мы разбиваем на ряд коротких процессов, каждый из которых предполагаем протекающим равномерно. При этом приращение функции, определяющей ход явления, Д1ы заменяем ее дифференциалом. [c.16]

Решение химической задачи мы привели к математической задаче нахождения функции [ю заданному ее дифференциалу. Эта задача обратна той, которая ставится в дифференциальном исчислении, где требуется найти производную или дифференциал по дайной функции. В дифференциальном исчислении отыскиваются бесконечно малые изменения переменной величины, соответствующие бесконечно малым изменениям другой величины на основании данного закона, связывающего эти две величины, т. а. когда известна функциональная зависимость между этими величинами. [c.35]

Методы дифференциального исчисления применяются, главным образом, при рассмотрении таких явлений, при которых состояния тел и их свойства непрерывно изменяются. [c.5]

Всякой формуле дифференциального исчисления Р (х)--=Цху, ёР(х) = 1(х)ёх соответствует формула интегрального исчисления [c.36]

Во всех этих методах подходя г к решению проблемы, пользуясь дифференциальным исчислением, и потому они особенно пригодны для насадочных колонн. [c.65]

Для доказательства своих гипотез Ньютон использовал громоздкий геометрический метод. Некоторые полагают, что он избегал применять методы интегрального и дифференциального исчисления, так как опасался, что современники могут не понять его. Ньютон сделал также несколько интересных замечаний в своих Следствиях . [c.22]

Достаточно полный перечень термодинамических соотношений, полученных на, основе анализа функций состояния методами дифференциального исчисления, можно найти в монографиях по термодинамике, например в [1]. [c.21]

Напишем по известному правилу дифференциального исчисления выражение для производной (д 11/дМ2)ру. [c.30]

По правилам дифференциального исчисления [c.67]

Для этой цели используют дифференциальное исчисление, приравнивая производные С по а и 6 к О и решая относительно а и Ь. [c.607]

В курсах дифференциального исчисления доказывается, что пло-шадь сектора РОО (рис. Х1У-1) составляет [c.402]

Большие успехи были достигнуты в области механики, математики, астрономии и физики. Г. Галилей (1564—1642) основал механику. Его ученик Э. Торричелли (1608—1647) открыл существование атмосферного давления. Б. Паскаль (1623—1662) продолжил исследования Э. Торричелли. Хр. Гюйгенс (1629— 1695) создал волновую теорию света. Крупнейший вклад в механику и астрономию внес И. Ньютон (1643—1727). Он опубликовал в 1687 г. свою знаменитую работу Математические начала натуральной философии . В конце XVII в. Г. В. Лейбниц (1647— 1716) и И. Ньютон открыли дифференциальное исчисление. Все эти и другие открытия ознаменовали наступление эпохи первой научной революции. [c.30]

Затем обычными приемами дифференциального исчисления найдем 2т, при котором имевт максимум [c.105]

chem21.info