Задачи на оптимизацию 17 егэ

Вопросы»Задачи 17 на оптимальный выбор. Профильный ЕГЭ 2016-2018.|Поступи в ВУЗ

Задачи 17 на оптимальный выбор. Профильный ЕГЭ 2016-2018.

создана: 26.01.2018 в 19:18................................................

liliana :

При решении заданий 17 необходимо составить целевую функцию, описывающую некоторый процесс - функцию оплаты труда, выпуска продукции, распределения ресурсов и пр. При этом необходимо указать ограничения на область определения этой функции. Для нахождения наименьшего или наибольшего значения функции применяем метод исследования функции с помощью производной.

Рассмотрим конкретные задачи №17 из заданий профильного ЕГЭ 2016.

**********************************************************************************************

Задание №1. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часовв неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара;если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2часовв неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей.Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара.

Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

____________________________________________________________________________

Решение.

Пусть на первом заводе рабочие трудятся х2 часов в неделю, тогда они производят за неделю 2х единиц товара.На втором заводе рабочие трудятся у2 часов в неделю и за неделю производят 5у единиц товара.Тогда суммарно за неделю будет произведено 2х+5у единиц товара, а затраты на оплату труда составят500(х2+у2) рублей при условии, что 2х+5у=580.

Выразим у через х: у=(580-2х)/5, причем хС[0; 290].

Составим функцию оплаты труда: F(x) = 500(x2+(580-2x)2/25) =

=500x2 +20(580-2x)2 = 20(25x2+5802 -2320x +4x2).

Найдем наименьшее значение F(x) = 20(29x2-2320x+336400) на промежутке [0; 290].

F(x) - квадратичная функция, наименьшее значение достигается в в вершине параболы (точке экстремума).

F`(x)=20(2*29x-2320) =0

58x=2320; x=40 - точка минимума, принадлежащая [0; 290].

F(40) = 500(402+ (580-80)2/25)=5800000.

Ответ: 5 800 000.

www.postupivuz.ru

Задача 17

Решим несколько задач из задания 17.

Задача 1. В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях сможет ежедневно производить завод?

Решение.

показать

Сначала поясним термин, который встречается в условии:

Человеко-час

Вот что написано по этому поводу в Википедии:

"Человеко-час — единица учёта рабочего времени, соответствует часу работы одного человека. Иногда удобно оценить работу через количество человеко-часов для её выполнения, что позволяет при планировании более точно сопоставлять количество работников и сроки выполнения задания.

Суммарные человеко-часы являются результатом умножения количества работников на время, потраченное на работу. То есть 40 человеко-часов формируют 1 человек, работающий 40 часов, или 2 человека, работающие 20 часов, или 4 человека, работающие 10 часов и т. д."

Иногда при решении задачи удобно найти, сколько человеко-часов требуется для изготовления единицы продукции. Например, если в условии сказано, что один рабочий делает за час две детали, следовательно, на изготовление одной детали требуется человеко-часа.

Так как в каждой области имеем по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки, получаем 500 человеко-часов в сутки в каждой области.

Пусть в первой области добывается кг алюминия и кг никеля в сутки. Во второй области, соответственно кг алюминия и кг никеля в сутки.

В первой области один рабочий за час добывает

- 0,2 кг алюминия, следовательно, на изготовление 1 кг алюминия требуется 5 человеко-часов, и на добычу кг алюминия человеко-часов,

или

- 0,1 кг никеля, следовательно, на изготовление 1 кг никеля требуется 10 человеко-часов, и на добычу кг никеля человеко-часов.

Так как за сутки вырабатывается всего 500 человеко-часов, получаем первое уравнение:

Во второй области на изготовление кг алюминия требуется человеко-часов, и на изготовление кг никеля требуется человеко-часов.

Так как за сутки вырабатывается всего 500 человеко-часов, получаем второе уравнение:

Всего в обоих областях добывается кг алюминия и кг никеля.

По условию в сплаве на на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля, следовательно, никеля должно быть в два раза больше, чем алюминия. Получаем третье уравнение:

В итоге масса полученного сплава равна суммарной массе добытых металлов:

, или, учитывая последнее уравнение,

Получили систему:

Выразим все переменные через одну, например, через .

Из первого уравнения: .

Из второго уравнения: . (Сразу заметим, что .)

Подставим в третье уравнение:

Подставим выражение для в четвертое уравнение системы и получим функциональную зависимость массы сплава от переменной :

, где .

Найдем максимальное значение функции на отрезке [].

Найдем производную и приравняем ее к нулю.

На отрезке [] производная равна нулю при . Легко проверить, что слева от производная положительна, а справа отрицательна, следовательно функция имеет на отрезке [] единственный максимум в точке , следовательно, в точке функция принимает наибольшее значение.

Найдем его.

Ответ: 90.

Задача 2.

В двух областях есть по 40 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий добывает за час 0,1 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать алюминий или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть суммарно в двух областях для нужд промышленности?

Решение.

показать

В каждой области рабочие в сутки вырабатывают человеко-часов.

По условию 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. В первой области один рабочий добывает за час 0,1 кг алюминия или 0,2 кг никеля, то есть никель добывать выгоднее. Тогда в первой области 40 рабочих за сутки добудут кг никеля.

Пусть во второй области в сутки добывают кг алюминия и кг никеля. Тогда при условии (1) нужно найти наибольшее значение суммы .

Из уравнения (1) выразим : .

Получим функцию зависимости массы металлов, добытых во второй области от : на отрезке .

Приравняем производную у нулю:

Промежутку принадлежит точка . Докажем, что - точка максимума функции . Слева от точки (например, в точке ) .

Справа от точки (например, в точке ) , следовательно, - точка максимума функции .

Найдем

В итоге, суммарная добыча металлов в в двух областях составит кг.

Ответ: 60.

Задача 3.

На каждом комбинате работает по 200 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает 1 деталь А или 3 детали В. На втором комбинате для изготовления деталей (и А, и В) требуется человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат,из которых собирают изделие,для изготовления которого нужна 1 деталь А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Решение.

показать

Задача 4.

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 кв. м и номера "люкс" площадью 49 кв. м. Общая площадь, которую можно отвести под номера составляет 630 кв. м. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 руб в сутки, а номер "люкс" - 5000 руб в сутки. Какую наибольшую сумму денег может заработать на своем отеле предприниматель?

Решение.

показать

Сначала посчитаем, какую прибыль приносит 1 кв. м номера каждого типа.

Стандартный номер имеет площадь 21 кв. м и приносит отелю 2000 руб в сутки, следовательно, 1 кв. м этого номера приносит отелю руб. в сутки.

Стандартный номер имеет площадь 49 кв. м и приносит отелю 5000 руб в сутки, следовательно, 1 кв. м этого номера приносит отелю руб. в сутки.

Очевидно, что "удой" с каждого квадратного метра номера "люкс" выше, чем с квадратного метра стандартного номера. То есть для предпринимателя выгоднее отвести под номера "люкс" максимальную площадь. Однако, он не может распределить площадь под номера произвольным образом - площадь, отведенная под стандартные номера должна быть кратна площади одного номера, то есть числу 21, а площадь, отведенная под номера "люкс" должна быть кратна числу 49.

Подберем соответствующее количество номеров. Предприниматель не может отвести всю площадь под номера "люкс", так как 630 не делится на 49.

Пусть предприниматель запланировал 1 стандартный номер. Тогда под номера "люкс" останется 630-21=609. 609 не делится на 49.

Пусть предприниматель запланировал 2 стандартных номера. Тогда под номера "люкс" останется 630-42=588. 588 делится на 49. 588:49=12

Итак, предприниматель получит максимальную сумму денег, если запланирует 2 стандартных номера и 12 номеров люкс.

И эта сумма равна:

Ответ: 64 000.

Заметим, что в этой задаче все так прекрасно устроилось, так как оказалось возможным решить в целых числах уравнение , где - количество стандартных номеров, и - количество номеров "люкс".

Если мы вместо числа 630 возьмем, например, число 653 ( как предлагается в сборнике ЕГЭ 2016, Математика, 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2, (Ященко И.В., Волчкевич М. А., Высоцкий И.Р.), то легко убедиться, что уравнение не имеет решений в целых числах. Тогда, видимо, предприниматель не может отвести всю площадь без остатка под номера. И у него должна остаться "кладовочка".

Найдем, какую наибольшую сумму получит предприниматель в этом случае.

Пусть предприниматель всю площадь отведет под номера "люкс". Тогда у него получится 13 номеров и останутся неиспользованными 16 кв. м. (653:49=13(16)) Доход в этом случае составит руб.

Пусть предприниматель запланировал 1 стандартный номер. Тогда под номера "люкс" останется 653-21=632 м. 632:49=12(2). То есть можно будет спроектировать 12 номеров "люкс", останутся неиспользованными кв. м. На этой площади можно разместить еще два стандартных номера, и останутся неиспользованными 2 кв. м. Доход в этом случае составит руб.

Дальше при увеличении числа стандарных номеров доход будет уменьшаться.

Ответ: 66 000.

Презентации.

показать

Презентации Галины Медведевой

ege-ok.ru

Задание №17 ЕГЭ по математике профильного уровня |

Задачи на финансы

17 задание профильного уровня ЕГЭ по математике представляет собой задачу, связанную с финансами, а именно эта задача может быть на проценты, часть долгов и др. Сложность заключается в том, что необходимо рассчитать проценты или часть на длительном промежутке, поэтому данная задача не является прямой аналогией стандартных задач на проценты. Чтобы не говорить об общем, перейдем непосредственно к разбору типовой задачи.

Разбор типовых вариантов заданий №17 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей.

Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн рублей)	1	0.6	0.4	0.3	0.2	0.1	0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Алгоритм решения:

Рассматриваем, какова величина выплат по кредиту ежемесячно.
Определяем долг по каждому месяцу.
Находим величину требующихся процентов.
Определяем сумму выплат за весь период.
Вычисляем процент r суммы выплат долга.
Записываем ответ.

Решение:

1. По условию, долг банку ежемесячно должен уменьшаться в таком порядке:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. Пусть k = 1 + r / 100, тогда долг каждый месяц равняется:

k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1k.

3. Значит, выплаты со 2-го по 14-е ежемесячно составляют:

k - 0.6; 0.6k - 0.4; 0.4k - 0.3; 0.3k - 0.2; 0.2k - 0.1; 0.1k

4. Вся сумма выплат равна:

По условию, весь размер выплат меньше 1,2 млн руб, следовательно,

Наибольшим целым решением получившегося неравенства является 7. Тогда оно и есть искомое – 7.

Ответ: 7%.

Второй вариант (из Ященко, №1)

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.

Алгоритм решения задачи:

Определяем величину денежного долга.
Вычисляем сумму задолженности после первого взноса.
Находим величину долга после второго взноса
Находим искомый процент.
Записываем ответ.

Решение:

1. В долг было взято 300 000 рублей. По условию сумма долга, подлежащего возврату увеличивается на r%, а значит в раз. Для выплаты долга необходимо отдать банку 300000∙k.

2. После внесения платежа, равного 160 000 рублей. Остаток долга равняется

руб.

3. На следующий год остаток тоже возрастет в k раз и составит:

Вносимая сумма равна 240 000 рублей:

рублей.

4. Поскольку согласно условию эти выплаты погасят весь долг, получаем квадратное уравнение:

Решаем его, с помощью формул дискриминанта и корней:

5 .Среди полученных корней один отрицательный и условию не удовлетворяет. Получаем:

Таким образом, брать кредит планируется под 20% .

Ответ: 20%.

spadilo.ru