Линейная оптимизация разности с ограничениями. Оптимизация с линейными ограничениями
Методы решения задач оптимизации с ограничениями
Линейное программирование — это метод для решения задач оптимизации с линейными выражениями для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных. Такие задачи часто встречаются при оптимальном планировании производства с ограниченным количеством ресурсов, для обеспечения оптимального использования оборудования или экономичных перевозок (транспортная задача) и др. [c.249]
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ [c.89]
Динамическое программирование хорошо приспособлено для решения задач оптимизации многостадийных процессов, особенно тех, в которых состояние каждой стадии характеризуется относительно небольшим числом переменных состояния. Однако при наличии значительного числа этих переменных, т. е. при высокой размерности каждой стадии, применение метода динамического программирования затруднительно вследствие ограниченных быстродействия и объема памяти вычислительных машин. [c.30]
При постановке любой задачи оптимизации часть переменных (I, 61) (в частном случае все) принимаются в качестве поисковых (независимых), а часть — в качестве зависимых. Поисковыми, или независимыми, называются переменные, в пространстве которых ведется поиск минимального значения критерия (I, 15). Зависимыми переменными являются те из переменных (I, 61), которые на каждом шаге процедуры оптимизации, т. е. при каждом вычислении критерия (1, 15), определяются с помощью систем (1, 53), (I, 54), (I, 56) или их частей для заданных значений независимых переменных. При этом та часть системы (I, 53), (I, 54), (I, 56), которая используется для определения зависимых переменных, будет автоматически удовлетворяться на каждом шаге оптимизации, уравнения же оставшейся части системы (I, 53), (I, 54), (I, 56) необходимо считать ограничениями типа равенств и учитывать с помощью методов условной минимизации. Метод решения задачи оптимизации ХТС существенно зависит от того, какие из переменных (I, 61) будут взяты в качестве поисковых, а какие — в качестве зависимых, какие из уравнений (I, 53), (I, 54), (I, 56), (I, 58) будут удовлетворяться автоматически на каждом шаге оптимизации, а какие необходимо считать ограничениями типа равенств в соответствующей задаче на условный экстремум. [c.21]
Рассмотренные в главе IX методы нелинейного программирования предназначены для решения задач оптимизации с критерием оптимальности, сформулированным как нелинейная функция независимых переменных, на допустимую область изменения которых накладываются ограничения, имеющие вид равенств или неравенств, возможно также нелинейного вида. Как правило, решение подобных задач методами нелинейного программирования требует значительного объема вычислений и сопряжено с определенными трудностями, обусловленными особенностями целевой функции и ограничений. [c.547]
Для выполнения операций рассматриваемого этапа процедуры оптимизации адсорбционной установки в условиях неполноты исходной информации кроме изложенного может быть применен и другой подход, базирующийся на представлении всей используемой информации (кроме детерминированной) как случайной. Должно быть намечено несколько вариантов наиболее вероятных законов ее распределения. Для решения такой задачи стохастического программирования в принципе могут применяться такие же методы, что и для решения задач оптимизации в детерминированной постановке. Однако систематизированные конструктивные проработки алгоритмов имеются лишь для задач линейного и квадратичного стохастического программирования. Существенным недостатком такого подхода является большая трудоемкость расчетов, что, естественно, ограничивает область применения строгих методов решения задач и вызвало появление приближенных методов, например метода статистических испытаний (метод Монте-Карло). Значительный интерес для решения стохастических задач представляет использование итерационной многошаговой процедуры, в основу которой положены идея стохастической аппроксимации для учета случайных величин и метод штрафных функций для учета ограничений [51]. При использовании любого из указанных методов следует помнить, что решение задачи всегда будет иметь погрешность вслед- [c.163]
Присутствие ограничений первой группы существенно усложняет задачу оптимизации и требует применения наиболее универсальных методов решения задач с ограничениями — методов последовательной безусловной минимизации. Эти методы изложены в следующем разделе. С другой стороны, если в задаче имеются только линейные ограничения второго типа, то здесь более эффективными могут оказаться методы оптимизации, специально разработанные на случай наличия линейных ограничений. Такие методы рассмотрены в последнем разделе данной главы. [c.144]
Процедура решения задачи оптимизации заключается в нахождении с помощью ЦВМ каким-либо методом таких управлений, при которых основной критерий достигает максимума (минимума) при соблюдении уравнений связи, ограничений и условий, налагаемых на остальные показатели качества работы объекта. Методы решения задачи оптимизации зависят от вида математической модели, критерия, ограничений и ряда других факторов. [c.8]
Решение задачи оптимизации (7.13) по критерию (7.17) с использованием математической модели статики контактного аппарата и учетом ограничения на температуру слоя катализатора методом поочередного [c.314]
Еш е более важное зпачение приобретает выбор метода численного анализа при решении задач оптимизации. Поиск оптимума функций многих переменных является обычно задачей крайне трудоемкой, поэтому эффективность использования различных методов зависит от класса функций и накладываемых ограничений [1]. [c.33]
Вернемся к рассматриваемой задаче. Поскольку на выбор управляющих воздействий наложено ограничение (4.63), то для решения задачи оптимизации методом динамического программирования введем неопределенный множитель X. Используя X, запишем выражения для оценок оптимальности каждого реактора каскада [c.344]
В ходе поиска было несколько неуспешных шагов, что подтверждает наличие овражной ситуации. Последняя, однако, в данной задаче оказалась, вероятно, довольно слабо выраженной. Это позволило успешно использовать одну из наиболее простых модификаций метода градиента для решения задачи оптимизации квазистатического режима работы реактора как в постановке без дополнительных ограничений, так и с дополнительным ограничением на конечную концентрацию исходного вещества. [c.217]
Решение задачи оптимизации непрерывного реактора идеального вытеснения в общем случае значительно более сложно, чем оптимизация реактора идеального смешения. Это в первую очередь обусловлено тем, что реактор вытеснения представляет собой объект с распределенными параметрами и его математическое описание содержит дифференциальные уравнения, решение которых в аналитической форме может быть получено лишь в весьма ограниченном числе случаев. В связи с этим ниже рассмотрены некоторые частные задачи оптимизации реакторов идеального вытеснения, которые можно решить при использовании методов исследования функций классического анализа в аналитической форме либо в форме процедуры вычислений, приводящей к определению оптимальных условий. [c.117]
Данное пособие не претендует на полное изложение моделей процессов химической технологии. Из-за ограниченного объема книги авторы сочли возможным не включать в нее раздел, посвященный химическим реакторам, которые обычно рассматриваются в специальной литературе. Не включено в пособие моделирование таких процессов, как измельчение, фильтрация, псевдоожижение, флотация и т.п. Тем не менее авторы надеются, что будет достигнута основная цель книги — привить студентам навыки активного использования метода математического моделирования для решения задач оптимизации и проектирования процессов химической технологии. [c.5]
Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ [10] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [23] в качестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функции желательности О. Для построения обобщенной функции желательности О предлагается преобразовать измеренные значения от- [c.207]
Нахождение оптимума функции цели в общем виде с применением методов математического программирования оказывается очень сложным. Операция заметно упрощается, если уравнениями связи деталей выразить некоторые из параметров через соподчиненные эксплуатационные показатели. Это позволяет оптимизировать функции цели методом математического анализа комбинируя его при необходимости с известными методами программирования. В решении задач оптимизации соподчиненные эксплуатационные показатели задают фиксированными значениями и неравенствами ограничений, определяющими два варианта уточненного расчета функциональных параметров. [c.31]
Недостатком данного метода является необходимость многократно решать задачу нелинейного программирования с ограничением. Поэтому рассмотрена возможность решения задачи оптимизации схемы как единого целого при применении к ней тех же методов оптимизации, что и к одному фильтру. В этом случае увеличивается число переменных пропорционально числу ступе- [c.180]
Отдельные примеры решения задач оптимизации и автоматизации режима работы установок также будут рассмотрены для данного вида двухступенчатой ВУ или ее упрощенного варианта. Такой подход в методическом отношении является оправданным, так как, во-первых, выбранная установка обладает многими особенностями различных видов ВУ как объектов оптимизации и автоматизации и, во-вторых, имеется возможность в рамках ограниченного объема книги изложить основной круг вопросов, относящихся к решению поставленных задач методами системотехники. [c.7]
Выбор метода решения задачи. Целевая функция (59) и условия оптимизации (56) и (57) зависят от варьируемых параметров нелинейно. На переменные и их функции наложены ограничения, обусловленные условиями задачи. В связи с этим аналитическое решение системы дy д = 0 (г = I, [c.109]
Рассмотренный подход к решению задачи отличается от обсужденного ранее метода решения задачи управления с запаздыванием тем, что при этом требуется знание аналитического решения уравнения (1). На базе аналитического решения строится оптимальное решение в предположении, что оно удовлетворяет критериям управления и ограничениям. В дискретной формулировке уравнения в конечных разностях решаются, если даже не известно формальное аналитическое решение уравнения (1). Нахождение аналитического решения по методу, данному в этом разделе, требует очень большой вычислительной работы. Метод конечно-раз-ностной аппроксимации сводит решение рассматриваемой задачи непосредственно к решению задачи управления и, следовательно, не требует нахождения аналитических решений исходного уравнения и последующей их оптимизации. Подход, связанный с определением аналитических решений, имеет то преимущество, что для описания системы требуются только две переменные состояния Ь и Т, тогда как предыдущий метод требует большого числа переменных состояния системы. [c.299]
Для решения задач оптимизации используют аналоговые вычислительные машины. При введении ограничений предложена следующая модификация метода барьерных штрафных функций [c.34]
В связи со сказанным выше представляется целесообразным находить оптимальные условия проведения ионообменных процессов, используя математические модели. Это расширяет возможности решения задачи оптимизации, так как варьирование параметров проводится не экспериментально, а на математической модели, записанной в виде программы для ЭВМ [2, 3]. В этом случае варьируются все параметры опыта в широком диапазоне их изменения с любой заданной точностью. В настоящей статье излагаются принцип и результат оптимизации некоторых типичных ионообменных процессов, которые реализуются в следующем порядке 1) формулировка критерия оптимальности 2) выбор параметров оптимизации и обоснование ограничений 3) выбор метода оптимизации 4) обоснование математической модели процесса. [c.169]
В прямых методах оптимизации при наличии ограничений (блок О) возможны два подхода к решению задач. При первом подходе непосредственно решается задача отыскания условно- [c.179]
При первом подходе указанный учет производится в методе оптимизации, и в оптимизационной задаче появ.ляются ограничения тина равенств. Известно, что наличие таких ограничений существенно усложняет решение задач оптимизации. С другой стороны, схема рассчитывается без итераций. При втором подходе ограничения [c.20]
Если структура функционала (2.1) фиксирована и фо])ма оператора Ф выбрана заранее (например, в виде уравнения регрессии, дифференциального оператора, булевой функции и т. д.), то решение указанной проблемы реализуется обычными методами оптимизации. При этом используется либо аналитический, либо алгоритмический путь решения. Аналитический путь приводит к явному формульному решению задачи, однако возможности его весьма ограниченны. Алгоритмические методы не дают компактного формульного решения задач, а лишь указывают алгоритм, реализация которого приводит к решению. Последние обеспечивают не столько решение, сколько способ его нахождения с помощью рекуррентных итеративных процедур, составляющих основу так называемых регулярных алгоритмов оптимизации. Ука- [c.82]
До сих пор рассматривались методы решения задач оптимизации с ограничениями путем превращения их в последовательность задач без ограничений. Однако существуют методы оптимизации, в которых учитываются ограничения при выборе направления поиска и длины шага на каждой итерации. Этот подход реализуется в методе допустимых направлений, предложенном Зойтендейком [931. [c.216]
Приведенный обзор подтверждает, что уровень разработанности методов поиска абсолютного экстремума в многоэкстремальных задачах позволяет ориентироваться на практическое использование только приближенных методов. Некоторая компенсация этого недостатка и получение достаточно точных для инженерных целей результатов возможны за счет увеличения знаний о свойствах решаемой задачи. В связи с этим при решении задач оптимизации параметров и профиля адсорбционных установок необходимо проводить всестороннее и неоднократное изучение характера изменения минимизируемой функции и функций ограничения. Для исследования области оптимальных решений разработан и реализован на ЭВМ подход, базирующийся на использовании метода двупараметрических сечений. В результате таких исследований получаем сведения о структуре допустимой области изменения параметров, о местах, подозреваемых на оптимум, и т. п. Все это позволяет достаточно обоснованно установить рациональную организацию процесса спуска, в частности [c.155]
При решении задач оптимизации химико-техпологических процессов очень часто ограничения на управляющие переменные являются линейными. Так, ограничения (1,2) зачастую представляют собой простые ограничения на максимальные и минимальные значения соответствующих управляющих переменных (П,1). В схемах, как правило, имеются делители потоков , на управляющие переменные которых налагаются линейные ограничения вида (11,2). Особенно много таких ограничений в задачах синтеза (с. 18) при использовании метода структурных параметров. Конечно, для решения оптимальных задач с линейными ограничениями возможно применение общих методов, разработанных для произвольных ограничений. Однако целесообразно анализировать этот случай отдельно, поскольку, используя линейный характер ограничений, удается построить более эффективные алгоритмы. [c.190]
Для определения можно использовать прием линеаризации [92, с. 49]. Применяя правила дифференцирования сложных и неявных функций, легко получить формулы для определения производных функции (IV, 143) по переменным и [92, с. 49]. Для решения задачи (IV, 144), (IV, 145) используется метод сопряженных градиентов, модифицированный для учета ограничений (IV, 145) (МОПГ) он был предложен в 1968 г. и является обобщением метода приведенного градиента, разработанного Вольфом [93] для решения задачи (IV, 1), (IV, 3), (IV, 141) с линейными ограничениями (IV. 3), на случай нелинейных ограничений (IV, 3). Вместе с тем следует отметить, что при решении задач оптимизации в химической технологии этот подход введения зависимых и независимых переменных для исключения ограничений типа равенства фактически использовался уже в начале 60-х годов. Причем в качестве зависимых переменных обычно выбирались переменные состояния, в качестве независимых — управления [94], а в качестве ограничений типа равенств выступали математические модели блоков и уравнения связи. На основе этого подхода был дан способ вычисления градиента функции (IV, 143) для ряда типовых схем [95, 96]. Имеется также более удобный способ вычисления производных функций (IV, 143) для общего случая [97]. В чистом виде МОПГ эквивалентен задаче 2 оптимизации ХТС [см. соотношение (1.71), (1.72)]. либо задаче 1 [см. соотношения (1, 64)—(I, 66)], когда ограничения (I. 10) отсутствуют, [c.157]
Метод геометрического программирования возник и развивался в связи с задачами инженерного проектирования и имеет целью решение задач оптимизации, в которых критерий оптимальности и ограничения на переменные представляются в виде поло- жительных полиномов, называемых также позшомами [I], вида [c.547]
Можно обратиться также к методу ветвей и границ, широко используемому для численного решения задач дискретного программирования. Известно его эффективное применение для решения задач оптимизации электрических сетей, описанное в работах А.И. Лазебника и О.Н. Цаллаговой [105]. Реализованный ими алгоритм ограниченного перебора вариантов сети основан на последовательном делении множества допустимых [c.185]
Во втором разделе излагаются. методы решения задач опти изации, которые обычно называются методами нелинейного программирования, связанные с решением задач как условной, так и безусловной оптимизации функций. многих переменны х. При этом и целевая функция и ограничения нелинейньг по независимым переменны.м. При изложении этого раздела мы в основном придерживаемся работ [4 , 5], [6]. [c.4]
Следует отметить, что каждый из методов решения оптимальных задач, в том числе и упомянутые выше методы, имеют свои достоинства и недостатки. Динамическое программирование целесообразно применять для решения задач с ограничениями. Поскольку при его использовании приходится вьпшслять и запоминать сетку значений для переменных каждого из оптимизируемых звеньев ХТС в отдельности, возникают значительные трудности из-за ограниченного объема запоминающих устройств ЦВМ. Применение принципа максимума, особенно для оптимизации сложных ХТС, позволяет уменьшить эти трудности, поскольку для всех звеньев получают одно решение, а затем его последовательно улучшают. В частности, для упомянутой выше задачи время, потребное для ее решения методом дашамического программирования, оказалось приблизительно в 11 раз больше, чем при ее решении по принципу максимума [20,с.116]. [c.16]
Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов, является использование предложенной Харрингтоном в качестве обобщенного критерия оптимизации так назьгааемой обобщенной функции желательности В. Для построения обобщенной функции желательности Г) предлагается преобразовать измеренные значения откликов в безразмерную шкалу желательности й. Построение шкалы желательности, которая устанавливает соотношение между значением отклика у и соответствующим ему значением с1 (частной функцией желательности), является в своей основе субъективным, отражающим отношение исследователя (потребителя) к отдельным откликам. [c.205]
Приведенные выше задачи оптимизации надежностп ХТС являются задачами целочисленного нелинейного программирования с линейными или нелинейными ограничениями в виде неравенств. Предложены различные методы решения основных задач оптимизации резервирования технических систем, которые рассмотрены в разделе 8.2. Все указанные методы решения основных задач оптимизации резервирования ХТС и различных технических систем [2, 7, 231, 237] являются одноуровневыми. Они учитывают влияние включения резервных элементов на повышение надежности системы без использования обобщенных технико-экономических показателей. В качестве КЭ оптимального резервирования в данных методах используются лишь капитальные затраты на резервные элементы системы или величина Р(Х). [c.204]
Метод неопределенных множителей Лагранжа при решении задач оптимизации достаточно прост и удобен. Однако в более сложных случаях (например, при ненагруженном или облегченном резервировашш, при наличии нескольких ограничений и т. д.) его использование не всегда позволяет найти аналитическое решение и,поэтому приходится применять численные методы, из-за чего преимущества мегода множителей Лагранжа теряются. [c.774]
В то же время моделирование в области химизации народаого хозяйства как самостоятельное направление практически не разработано. Его элементы црисутствуют в основном щ)и решении задач оптимизации потребления конечных химических цродуктов, а также развития и размещения крупнейших отраслей - потребителей химических материалов, где потребность в них представлена в виде ограничений. Расширение сферы использования моделей межотраслевых балансов и межотраслевых взаимодействий, имитационных моделей, методов нормативного и экстраполяционного црогнозирования, экспертных аналитических оценок является одним из наиболее продуктивных [c.92]
Поскольку для производства фосфорных удобрений используется несколько видов фосфатного сырья, от химического состава и методов переработки которых зависит концентрация питательных веществ в готовых удобрениях, в первую очередь было решено оптимизировать размещение производства этих удобрений. На первом этапе решения данной задачи учитывались ограничения ресурсов отдельных видов фосфатного сырья. При подготовке исходной информации для первого этапа решения задачи — оптимизации размещения производства фосфорных и фосфорсодержащих сложных удобрений затраты на азотные и калийные компоненты включались в сумму приведенных затрат в минимальном размере. В связи с этим было принято, что указанные компоненты поставляются ближайшими азотными и калийными предприятими, производящими наиболее дешевую продукцию. [c.240]
Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения все же можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого процесса. К сожалению, и общем случае не представляется возможным указать достаточно удобные методы решения вариационных задач с ограничениями тйпа неравенств. Поэтому для каждого конкретного процесса приходится искать са.мый удобный прием или же решать задачу с помощью других методов, например динамического программирования или принципа максимума, более приспособленных для решения таких адач. [c.222]
chem21.info
Оптимизация при ограничениях - Энциклопедия по экономике
Более того, понятие седловых точек является ключевым для теории условной оптимизации при ограничениях типа неравенств. (Примеч. пер.) [c.183] Оптимизация при ограничениях в виде равенств использование множителей Лагранжа [c.425]Сейчас же проиллюстрируем портфельную задачу, рассмотрев оптимизацию при ограничениях для случая портфеля из трех активов. [c.445]
Наиболее распространенным методом решения важных практических задач планирования и управления является линейное программирование. С помощью симплекс-метода решаются задачи планирования производственной программы предприятия, объединения, способствующие получению максимального эффекта при ограниченных материальных и трудовых ресурсах. Распределительный метод линейного программирования позволяет выбрать оптимальные варианты планов транспортных перевозок решать задачи по оптимизации планов загрузки оборудования и др. [c.78]
Целью оптимизации СПО в условиях бурового предприятия при заданных параметрах технологического оборудования следует считать максимальное использование скоростных возможностей установок при ограничении режимов отдельных операций, что соответствует главной цели оптимизации бурения — выполнению заданного объема проходки с наименьшими затратами. Эта цель может [c.7]
Таким образом, задача оптимизации при наличии ограничений типа равенств оказалась сведенной к задаче поиска стационарной точки некоторой функции без учета ограничений. [c.48]
Во-первых, базовая модель анализа, изображенная на рис. 1, решает задачу нахождения оптимальной величины физического объема сбыта и уровня цен реализации для одного вида продукции. При ограниченных ресурсах предприятия и наличии широкого ассортимента сбыта на практике часто необходимо решать задачи оптимизации структуры производства и сбыта, исходя из сравнения планируемого дохода от реализации различных видов продукции. Это в достаточной степени усложняет алгоритм СКР-анализа. [c.45]
Если состояние процесса может быть полностью охарактеризовано параметрами (даже если их число велико), включающими оптимальные значения по достижению соответствующего состояния, то необходимо только распознать это состояние, когда оно встретится в будущем, и использовать его для выбора совокупности соответствующих значений параметров. Таким образом, длительная начальная задержка реакции, связанная с оптимизацией при изменении состояния процесса, может отсутствовать, если анализируемое состояние имело место, а также при наличии таких состояний процесса, которые настолько похожи на имевшие место, что распознающие устройства относят их к тому же классу. На практике состояние процесса и соответствующие оптимальные параметры непрерывно меняются в связи с влиянием неконтролируемых параметров. И для полной характеристики состояния может потребоваться много изменений. Причем на состояние процесса и на факторы, вызывающие его изменения, обычно накладываются жесткие ограничения, позволяю- [c.163]
Проблемы оптимизации бюджета капиталовложений. Предприятия по ряду причин могут ограничивать свой бюджет капиталовложений суммами меньшими, чем оптимальные. В этом случае оптимизация бюджета капиталовложений определяется как выбор группы проектов по критерию максимального суммарного NPV из числа имеющих удовлетворительные величины NPV и IRR при ограниченном объеме инвестиций. [c.218]
Линейное программирование — широко распространенный метод оптимизации использования ограниченных ресурсов. Как видно из названия, зависимости между рассматриваемыми факторами должны быть линейными. В операционном менеджменте линейное программирование применяется в первую очередь для оптимизации номенклатуры выпускаемой продукции при условии ограниченных мощностей. Если обойти эти ограничения не удается и можно оставить часть спроса неудовлетворенной, необходимо найти такую комбинацию выпуска, при которой определенный параметр достигал бы максимума. Как правило, в качестве такого параметра выступает прибыль. [c.154]
Здесь имеет место оптимизация по двум критериям (4.1.12) и (4.1.13) при ограничениях (4.1.14). Критерий (4.1.12) выполняется явно вследствие выражений (4.1.10), (4.1.11). Критерий (4.1.13) обеспечивается пошаговой процедурой следующим образом вначале из множества R выбирается максимально возможная по величине группа Gf, удовлетворяющая условиям (4.1.14), затем из обособленных подмножеств R, z (R Gf) выбирается также максимально возможная по величине группа G, и т.д. По аналогии выбираются все группы Gf. Следовательно, все группы Gf — максимально большие по величине с учетом условий (4.1.14). [c.144]
Так как наша задача в приведенном выше виде содержит ограничения только в виде равенств, она может быть решена с использованием множителей Лагранжа, одного для каждого ограничения. Применение множителей Лагранжа к оптимизации при одной переменной было описано в гл. 3. [c.447]
Таким образом, /3 портфеля активов является средней взвешенной (3 отдельных активов. Следовательно, если цель процедуры оптимизации заключается в максимизации дохода по портфелю при ограничениях максимального размера /3 портфеля, перед нами ставится задача, где целевая функция, т.е. доход по портфелю, линейна и ограничения тоже линейны. Следовательно, мы имеем задачу линейного программирования. [c.412]
Оба этих принципа в определенной степени эквивалентны, так как сокращение затрат при достижении поставленной цели приводит к экономии средств и ресурсов, за счет которых можно повысить степень реализации цели. При составлении проекта плана, а также при встречном планировании, когда имеющиеся ресурсы и выявленные резервы позволяют перекрыть задания плана, можно руководствоваться первым принципом, при получении директивных показателей и при ограниченных ресурсах — вторым. В том случае, если использование всех имеющихся ресурсов не обеспечивает выполнение директивных показателей по заданному критерию, предприятие должно выявить все возможности лучшего использования этих ресурсов за счет включения в план более эффективных мероприятий. Если все резервы исчерпаны, возникает проблема привлечения дополнительных ресурсов и оптимизации их использования. [c.200]
Коротко говоря, наука управления ставит себе целью оптимизировать адаптивный процесс обучения. Она стремится осуществлять эту оптимизацию при соблюдении ограничений и требований, налагаемых потоком текущих событий в ситуации управления. Она ищет также пути для наиболее рационального использования особенностей каждой ситуации, требующей принятия решения, а также богатого личного опыта и сообразительности самих руководителей. [c.28]
В процессе принятия решения по организационно-экономическим проблемам в качестве параметров эффективности могут быть использованы доходы, прибыль, рыночная стоимость организации, ее рыночная доля и темпы ее изменения, затраты на эксплуатацию оборудования и предоставление услуги (общие, средние или предельные), время простоя оборудования, его надежность, производительность труда, средние за период доходы на одного клиента, улучшение имиджа фирмы и др. При этом возможны разные варианты постановки задачи оптимизации. При так называемой прямой постановке отыскивается минимум материальных затрат С при ограничении на эффективность, например, на прибыль, которая не должна быть меньше заданной PQ. [c.56]
Таким образом, задача формирования оптимальной организационной структуры формулируется следующим образом требуется определить матрицу (3.38) из условия оптимизации критерия (3.40), компоненты которого определяются по формулам (3.41)-(3.44) при ограничениях (3.45)-(3.47). [c.143]
В указанном виде задача оптимизации (6.4.27-6.4.29) может быть решена, например, с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа[12]. Указанный приём позволяет свести задачу на условный экстремум целевой функции (6.4.27), при ограничениях (6.4.28-6.4.29), к задаче на безусловный экстремум. Однако, в этом случае некоторые из искомых переменных могут оказаться отрицательными, что означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги j-ro вида в количестве X., т.е. провести операцию продажа без покрытия . Если взятие в долг ценных бумаг невозможно, то дополнительно к условиям задачи (6.4.27-6.4.29) необходимо добавить условие неотрицательности искомых переменных, то есть [c.134]
Б. Модели решения — это методы отбора проекта, которые используются в процессе инициации. К ним относятся методы оценки прибыли и методы оптимизации при наличии ограничений. Более подробную информацию вы найдете в 3 главе. [c.40]
С другой стороны к основным приемам процесса инициации относятся методы отбора проектов. Сюда относятся модели решения в форме методов измерения прибыли проекта и методы оптимизации при наличии ограничений. Последние методы используют математические модели. Методы измерения прибыли имеют форму анализа прибыль/затраты, счетных моделей и экономического анализа. Они в основном представляют собой сравнительные операции. Наиболее часто используемой формой измерения доходности в анализе прибыль/ затраты является анализ денежных потоков. [c.139]
Б. Методы оптимизации при наличии ограничений, которые являются элементом процесса инициации проекта. [c.141]
B. Ставка доходности по инвестициям — это метод оптимизации при наличии ограничений. [c.143]
Б. Взвешенная модель относится к методам оптимизации при наличии ограничений, что является выходом из процесса инициации проекта. [c.145]
Б. Анализ путем оптимизации при наличии ограничений. [c.146]
В. Математические модели — это часть методов оптимизации при наличии ограничений, которые используются в качестве приемов для отбора проекта. [c.149]
Современная портфельная теория возникла в США ещё в 50-х годах XX века. Одним из основоположников СПТ считается нобелевский лауреат Гарри Марковитц. Большой вклад в развитие этой теории внесли американские экономисты Шарп и Тобин. СПТ возникла на основе традиционного подхода к портфельному инвестированию. Задачи оптимизации инвестиционного портфеля сводятся в СПТ либо к специально разработанным, либо к уже известным алгоритмам. Ядро метода Марковитца, например, - алгоритм квадратической оптимизации при линейных ограничениях, который может быстро и эффективно решаться на ЭВМ. [c.7]
Вторая часть составляет теоретическое ядро книги. Она полностью посвящена строгому изложению теории дифференциалов и основ анализа, сформулированных на языке дифференциалов. Вводятся понятия первого и второго дифференциалов, приводится правило идентификации для матриц Якоби и Гессе. Завершает главу параграф, посвященный теории оптимизации при наличии ограничений, изложенный в терминах дифференциалов. [c.16]
Клиентский терминал MetaTrader предоставляет широкие возможности для тестирования различных существующих торговых систем, а также для создания и тестирования своих собственных. Это делает MetaTrader исключительно привлекательным продуктом для тех, кто собирается посвятить себя работе на финансовых рынках. Далее мы приведем примеры и результаты тестирования нескольких простейших торговых систем, выполненных на клиентском терминале MetaTrader. Это не означает, что мы рекомендуем данные системы к прямому использованию в торговле. Просто читатель получит навыки проведения таких исследований, что позволит далее осуществлять тестирование собственных систем самостоятельно. При тестировании торговых методик мы сознательно не использовали фиксированные значения ордеров на закрытие позиции, как в убытке, так и в прибыли. Критерием закрытия позиции мы выбирали формирование определенных рыночных ситуаций, например, пересечение МА в другую сторону и т. п. Использование фиксированных численных значений при торговле, например закрытие позиции при достижении убытка в 50 пунктов, сильно усложняет задачу тестирования. При таком подходе появляется необходимость оптимизации системы по величинам допустимых убытков и прибылей, что можно делать бесконечно (тестирование системы при ограничении убытков в 10 пунктов, а прибылей в 30, затем тестирование при ограничении убытков в 30 пунктов, а прибылей в 10 и т. д. и т. п.) Желательно, чтобы торговая система принципиально исключала возможность больших убытков, полученных в ходе одной торговой операции. [c.305]
Таким образом, р портфеля активов является средне и шенной р отдельных активов. Следовательно, если цедь fi дуры оптимизации заключается в максимизации дох портфелю при ограничениях максимального размера р rto(j перед нами ставится задача, где целевая функция, т.е. д портфелю, линейна и ограничения тоже линейны. Следе но, мы имеем задачу линейного программирования. / [c.429]
Правда, расчет предотвращенного ущерба по Временной типовой методике /1/, как правило, дает результаты, намного превышающие затраты, что заведомо их оправдывает практически в каждом случае. В большой мере это происходит из-за учета внеэкономической составляющей в расчетных формулах (например из-за учета скорости оседания частиц и радиуса их рассеивания), что завышает размер предотвращенного ущерба подобно тому, как это происходит при переводе задачи оптимизации с ограничениями в задачу безусловной оптимизации. Однако при этом предотвращенный ущерб теряет свое экономическое содержание, а следовательно, сопоставление его с затратами не будет иметь смысла. Например, затраты, направленные на снижение загрязнения какого-либо уникального природного ландшафта (заповедника) вряд ли смогут быть оправданы реальным предотвращенным ущербом, поскольку природные компоненты этого ландшафта не имеют адекватной стоимостной оценки. Стремление сохранить уникальный объект природы, продиктованное отнюдь не экономическими соображениями, заставляет для оправдания затрат завышать реальный размер предотвра- [c.124]
Второй пример календарной задачи на оптимизацию заключается в построении графика, наилучшим образом согласующего сроки выпуска продукции на нескольких последовательных стадиях произ-ва (переделах) при различной длительности обработки изделия на каждой из них. Напр., в типографии надо согласовать работу наборного, печатного и переплетного цехов при условии различной трудо-станкоемкости по отдельным цехам разных видов изделий (бланочной продукции, книжной продукции простого или сложного набора, в переплете или без него и т. п.). Задача может решаться при различных критериях оптимизации и различных ограничениях. Так, можно решать задачу на минимальную длительность производств, цикла и, следовательно, минимальную величину среднего остатка изделий в незавершенном произ-ве (заделе) ограничения при этом должны определяться по наличной пропускной способности различных цехов (переделов). Возможна и другая постановка той же задачи, при к-рой критерием оптимизации является наибольшее использование наличной производств, мощности при ограничениях, наложенных на сроки выпуска отдельных видов продукции. Алгоритм для точного решения этой задачи (т. н. задачи Джонсон а ) разработан для случаев, когда изделие проходит всего 2 операции, и для приближенного решения при трех операциях. При большем числе операций эти алгоритмы непригодны, что практически их обесценивает, т. к. потребность в решении задачи оптимизации календарного графика возникает гл. обр. в планировании многооперационных процессов (напр., в машиностроении). Е. Боуменом (США) в 1959 и А. Лурье (СССР) в 1960 предложены математически строгие алгоритмы, основанные на общих идеях линейного программирования и позволяющие в принципе решать задачу при любом числе операций. Однако в настоящее время (1965) практически применить эти алгоритмы нельзя они слишком громоздки в расчетном отношении даже для самых мощных из существующих электронных вычислительных машин. Поэтому указанные алгоритмы имеют лишь перспективное значение либо их удастся упростить, либо прогресс вычислительной техники позволит реализовать их на новых машинах. [c.157]
К М. м. в з. и. относят след, разделы прикладной математики математическое программирование, теорию игр, теорию массового обслуживания, теорию расписании, теорию управления запасами и теорию износа п замены оборудования. М а т е м а т и ч. (или оптимальное) п р о г р а м м н р о в а н и о разрабатывает теорию и методы решения условных экстремальных адач, является осн. частью формального аппарата анализа разнообразных задач управления, планирования и проектирования. Играет особую роль в задачах оптимизации планирования нар. х-ва и управления нронз-вом. Задачи планирования экономики п управления техникой сводятся обычно к выбору совокупности чисел (т. н. параметров управления), обеспечивающих оптимум пек-рой функции (целевой функции пли показателя качества решения) при ограничениях вида равенств и неравенств, определяемых условиями работы системы. В зависимости от свойств функций, определяющих показатель качества и ограничения задачи, математич. программирование делится на линейное и нелинейное. Задачи, и к-рых целевая функция — линейная, а условия записываются в виде линейных равенств и неравенств, составляют предмет линейного программа-ронпии.ч. Задачи, в к-рых показатель качества решения или нек-рые из функций, определяющих ограничения, нелинейны, относятся к н е л и н е и н о м у п р о-г р а м м и [) о н а н п го. Нелинейное программирование, в свою очередь, делится на выпуклое и невынуклое программирование. В зависимости от того, являются лп исходные параметры, характеризующие условия задачи, вполне определёнными числами или случайными величинами, в математич. программировании различаются методы управления и планирования в условиях полной и неполной информации. Методы постановки и решения условных экстремальных задач, условия к-рых содержат случайные параметры, составляют предмет с т о х а с т и ч о с к о г о п р о г р а м м и р о в а- [c.403]
Выведите формулу для оптимального портфеля при наличии безрискового актива, аналогичную формуле (15.13), повторив шаги (15.8)-(15.12) вывода формулы (15.13), т.е. записав целевую функцию, затем ограничения и решив задачу оптимизации при наличии ограничений методом Лаграпжа. [c.471]
Важнейшая из проблем в этой области — оптимизация уровней запасов. Она интересна как с математической точки зрения (многомерная, нелинейная, целочисленная), так и практически. Основным показателем для ремонтируемых изделий служит ожидаемое число дефицитов при ограничениях на бюджет. По расходуемым ( onsumable) деталям часто минимизируется ожидаемое время простоя. На базах предполагается правило заказов (5—1,5). [c.330]
АСУнефтеснаб рассматривается прежде всего как экономическая система, целью разработки и внедрения которой является совершенствование управления процессом обращения нефтепродуктов в народном хозяйстве в результате качественного изменения характера, содержания и функций управленческого труда оптимизации различных сторон производственно-хозяйственной деятельности организаций системы нефтеснабжения, повышения оперативности управления отдельными звеньями и объектами системы нефтеснабжения широкого использования экономико-математических и других современных методов в управлении нефтеснабжением устранения параллелизма и дублирования при выполнении управленческих работ унифицирования и значительного сокращения документации, сведения ее к ограниченному числу форм и таблиц обеспечения рациональных потоков и повышения коэффициента использования экономической информации. [c.329]
economy-ru.info
Решение задачи тропической оптимизации с линейными ограничениями
TY - JOUR
T1 - Решение задачи тропической оптимизации с линейными ограничениями
AU - Кривулин,Н.К.
AU - Сорокин,В.Н.
PY - 2015
Y1 - 2015
N2 - Рассматривается задача оптимизации, которая формулируется в терминах тропической (идемпотентной) математики и состоит в минимизации нелинейной функции при наличии линейных ограничений на область допустимых значений. Целевая функция задается на множестве векторов над идемпотентным полуполем при помощи матрицы с использованием операции мультипликативно сопряженного транспонирования. Рассматриваемая задача является дальнейшим обобщением нескольких известных задач, в которых решение связано с вычислением спектрального радиуса матрицы. Это обобщение заключается в использовании целевой функции более сложного вида, чем в указанных задачах, и наличии дополнительных ограничений. Для решения новой задачи вводится вспомогательная переменная, которая описывает минимальное значение целевой функции. Затем задача сводится к решению неравенства, в котором вспомогательная переменная выступает в роли параметра. Необходимые и достаточные условия существования решений неравенства используются для вычисления параметра, а затем об
AB - Рассматривается задача оптимизации, которая формулируется в терминах тропической (идемпотентной) математики и состоит в минимизации нелинейной функции при наличии линейных ограничений на область допустимых значений. Целевая функция задается на множестве векторов над идемпотентным полуполем при помощи матрицы с использованием операции мультипликативно сопряженного транспонирования. Рассматриваемая задача является дальнейшим обобщением нескольких известных задач, в которых решение связано с вычислением спектрального радиуса матрицы. Это обобщение заключается в использовании целевой функции более сложного вида, чем в указанных задачах, и наличии дополнительных ограничений. Для решения новой задачи вводится вспомогательная переменная, которая описывает минимальное значение целевой функции. Затем задача сводится к решению неравенства, в котором вспомогательная переменная выступает в роли параметра. Необходимые и достаточные условия существования решений неравенства используются для вычисления параметра, а затем об
KW - тропическая математика
KW - идемпотентное полуполе
KW - спектральный радиус
KW - линейное неравенство
KW - задачи оптимизации
KW - полное решение
M3 - статья
VL - 2 (60)
SP - 541
EP - 552
JO - ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ
T2 - ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ
JF - ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ
SN - 1025-3106
IS - 4
ER -
spbu.pure.elsevier.com
optimization - Линейная оптимизация разности с ограничениями
Мы предполагаем, что фактически был задан вопрос о том, что y известно, и мы хотим получить x с указанными ограничениями.
Заметим, что nls не работает для нулевых остаточных проблем, и поскольку в вопросе не было данных, мы не знаем, так ли это здесь или нет, поэтому мы сначала представляем два решения, которые могут справиться с этим, а затем, наконец, мы покажем nls для ненулевой остаточный случай. Мы используем y показанный ниже в (1), как наш тестовый ввод для (1) и (2), и он имеет нулевые остатки. Для (3), решения nls, мы используем другой y, который не приводит к нулевым остаткам.
Вот несколько альтернативных решений:
1) lm. Определим x5_to_x7 который отображает первые 5 компонент x во весь вектор из 7 элементов. Поскольку x5_to_x7 является линейным оператором, он соответствует матрице X которую мы формируем, а затем будем использовать в lm:
# test data y <- c(1:5, sum(1:5), sum(1:4)) x5_to_x7 <- function(x5) c(x5, sum(x5), sum(x5[1:4])) X <- apply(diag(5), 1, x5_to_x7) fm <- lm(y ~ X + 0)давая:
coef(fm) ## X1 X2 X3 X4 X5 ## 1 2 3 4 5 all.equal(x5_to_x7(coef(fm)), y) ## [1] TRUE2) optim. В качестве альтернативы мы можем использовать optim, определяя остаточную сумму квадратов и optim ее с помощью optim где y и x5_to_x7 такие, как указано выше:
rss <- function(x) sum((y - x5_to_x7(x))^2) result <- optim(numeric(5), rss, method = "BFGS")давая:
> result $par [1] 1 2 3 4 5 $value [1] 5.685557e-20 $counts function gradient 18 12 $convergence [1] 0 $message NULL > all.equal(x5_to_x7(result$par), y) [1] TRUE3) nls Если y было таким, что остатки не равны нулю, тогда можно было бы использовать nls как было предложено в вопросе.
y <- 1:7 fm1 <- lm(y ~ X + 0) fm2 <- nls(y ~ x5_to_x7(x), start = list(x = numeric(5))) all.equal(coef(fm1), coef(fm2), check.attributes = FALSE) ## [1] TRUEqaru.site
