Исследовательский проек "Задачи на оптимизацию". Задачи на оптимизацию

Задачи на оптимизацию. Задание 17

В этой статье рассмотрим решение задач из Задания 17, в которых требуется оптимальным образом распределить производство продукции для получения максимальной прибыли.

Задача 1. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

Решение.

показать

Величина прибыли зависит от того, каким образом будут распределены производственные мощности на заводе, то есть какая часть мощностей будет направлена на выпуск компотов в стеклянной таре, а какая - в жестяной. Ту величину, от которой зависит прибыль примем за неизвестное.

Пусть величина - это часть мощностей завода, направленных на выпуск компотов в стеклянной таре. Тогда оставшиеся мощности, то есть направлены на выпуск компотов в жестяной таре.

В этом случае завод выпустит центнеров компота в стеклянной таре, и центнеров в жестяной.

Прибыль с одного центнера продукции равна разности между отпускной ценой и себестоимостью. Таким образом

1 центнер компотов в стеклянной таре приносит прибыль руб

1 центнер компотов в жестяной таре приносит прибыль руб

В итоге полученная прибыль в зависимости от составит

Упростим выражение для функции

Коэффициент при больше нуля, следовательно, это функция возрастающая, и чем больше значение , тем больше прибыль. Но по условию задачи нельзя отдать все мощности на производство компотов в стеклянной таре: для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров.

Найдем, какую часть мощностей нужно отдать под производство компотов в жестяной таре:

- под производство компотов в жестяной таре необходимо отдать часть всех мощностей завода, следовательно, под производство компотов в стеклянной таре можно отдать максимум всех мощностей.

Тогда

Ответ: .

Задача 2. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.

Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

(из сборника Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.)

Решение.

показать

Величина дохода фермера зависит от того, каким образом будет распределена площадь каждого поля между посадками картофеля и свеклы.

Пусть на первом поле фермер отвел га под картофель. Тогда под свеклу остается га.

Урожайность картофеля на первом поле 500 ц/га, а свеклы 300 ц/га.

В этом случае прибыль с первого поля составит - перед нами возрастающая функция, которая принимает наибольшее значение при максимально возможном . Так как никаких ограничений по распределению площадей посадки между картофелем и свеклой перед фермером не стоит, ему выгодно все первое поле отдать под картофель, тогда он получит прибыль:

руб.

Аналогично поступим со вторым полем.

Пусть на втором поле фермер отвел га под картофель. Тогда под свеклу остается га.

Урожайность картофеля на втором поле 300 ц/га, а свеклы 500 ц/га.

Если подумать, здесь даже не нужно составлять функцию, так как урожайность свеклы на втором поле выше, чем картофеля, и стоимость одного центнера свеклы также больше. Поэтому очевидно, что на втором поле фермеру выгоднее выращивать только свеклу. В этом случае прибыль со второго поля составит

руб.

Общая прибыль фермера равна руб.

Ответ:

И.В. Фельдман, репетитор по математике

ege-ok.ru

Мастер-класс по теме " Решение экономических задач на оптимизацию"

Мастер-класс по теме: Решение экономических задач на оптимизацию.

(Слайд 1)

Цель: рассмотрение решения задач типа 17 ЕГЭ-2016 с помощью исследования функции на наибольшее (наименьшее) значение или методами математического анализа

(Слайд 2) « В мире не происходит ничего,

в чем бы ни был виден смысл

какого-нибудь максимума или минимума!»

Леонард Эйлер

Добрый день, уважаемые коллеги! Я Бурякова Вера Николаевна, учитель математики Похвистневского района. Тема моего урока «Решение экономических задач на оптимизацию».

Мотивация. Задачи оптимизации очень часто встречаются в управленческой, финансовой и научной деятельности. Они позволяют отыскать наилучшее (оптимальное) решение, дающее максимальную прибыль или обеспечивающее минимальные затраты. При этом требуется учитывать ряд дополнительных ограничений на значения используемых параметров.

Впервые в 2015 году в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня появились экономические задачи на банковские вклады, кредиты, которые решались составлением уравнения. Такие задачи относятся к задачам повышенного уровня. Ненулевые баллы по этому заданию получили около 15% выпускников. Это неплохой показатель. Несмотря на это, в методических рекомендациях для учителей, подготовленных на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике авторами КИМов И.В.Ященко, А.В.Семеновым, И.Р.Высоцким и опубликованных на сайте ФИПИ, выявляются ключевые проблемы, среди которых: неумение проводить анализ условия, искать пути решения, применять известные алгоритмы в измененной ситуации.

Авторы предлагают включить в рабочие программы практико-ориентированные задания, выстроить систему изучения практической, жизненно важной математики во все школьные годы. Это элементы финансовой и статистической грамотности, умение принимать решения на основе расчетов, навыки самоконтроля с помощью оценки возможных значений величин на основе жизненного опыта.

(Слайд 3)

В 2016 году наряду с такими задачами можно встретить задачи на выбор оптимального распределения ресурсов: поле и фермер, предприниматель и отель, добыча алюминия и никеля и производство сплава и другие. Понятно, что никаких экономических знаний для решения таких задач не требуется. Необходимо лишь понять смысл задачи, перевести его на язык математики и решив математическую задачу вернуться к условию, правильно сопоставив полученное решение с условием задачи. При решении такого вида задач можно составить уравнение и найти его решение в натуральных или целых числах. Мы же с вами будем решать задачи такого типа методами математического анализа, т.е. составлением функции и исследованием ее на наибольшее (наименьшее) значение.

Итак, переходим к уроку.

(слайд 4)

1 этап урока. Актуализация опорных знаний

Начнем с повторение теоретического материала, используемого на уроке. Предлагаю работу в парах.

А) Таблица производных

Б) Правила нахождения производных. Производная сложной функции

В) Какова связь между монотонностью некоторой функции и ее производной

Какие точки экстремума существуют и как определить их вид.

Г) Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке

Д) Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале (а; в)

(слайд 5) Вспомним алгоритм решения задач на оптимизацию с помощью математического моделирования:

1 этап. Составление математической модели задачи.

2 этап. Работа с составленной моделью.

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

2 этап урока. Применение знаний при решении задач.

Рассмотрим задачу из открытого банка заданий по математике ЕГЭ -2016.

(слайд 6)

В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Впервые встретившись с этой задачей, у меня возникло замешательство: как решать. Обратилась за помощью в Интернет, нашла авторское решение Комаровой Галины Петровны, учителя математики МКОУ СОШ №10 региона Кавказских Минеральных Вод. Привожу это решение. (слайд 7)

Мне показалось данное решение не очень убедительным.

Я же предлагаю другой способ решения этой задачи.

1 этап. Составление математической модели задачи (слайд 8)

(слайд 9)

Всего алюминия 2х+

Всего никеля (50-х)+

По условию, на производство сплава требуется никеля в 2 раза больше, значит 2(2х+) = (50-х)+

10 + 0,2 - 0,4.

Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла

f (х,у)= 2х+(50-х)+...= 60+1,2, получили f (у).

2 этап. Работа с составленной моделью. (слайд 10)

Исследуем функцию f(у)=60+1,2 на наибольшее значение. D(f) = [0;50]

f'(у)= - , f'(у)=0 при у=10. Определим, как ведет себя производная при переходе через точку у =10

f '(у)

0[_________+___________10________________________]50

f (у) точка max

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи. (слайд 11)

Значит, наибольшее значение функция принимает при у=10. Найдем f(10)= 60+1,2 = 60+1,2∙20+6=90. Ответ: 90 кг сплава

3 этап урока. Самостоятельная работа. А сейчас предлагаю решить аналогичную задачу таким же способом. (слайд 12)

Задача такая. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

У вас на столах лежат бланки для решения данной задачи. Заполните, пожалуйста, их.

(100-х)∙0,1∙10

=100-х

100 чел.

100-у

Всего алюминия 3х+

Всего никеля (100-х)+

По условию, на производство сплава требуется алюминия в 2 раза больше, значит 3х+ = 2((100-х)+

40 + 0,4 - 0,2.

Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла

f (х,у)= 3х+(100-х)+...= 180+1,8, получили f (у).

2 этап. Работа с составленной моделью.

Исследуем функцию f(у)=180+1,8 на наибольшее значение. D(f) = [0;100]

f'(у)= - , f'(у)=0 при у=10.

f '(у)

0[_________+___________10________________________]100

f (у) точка max

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

Значит, наибольшее значение функция принимает при у=10. Найдем f(10)= 180+1,8 = 180+1,8∙30+6=240.

Ответ: 240 кг сплава

4 этап урока. Домашнее задание. (слайд 13)

В качестве домашнего задания вам предлагается разобрать решение задачи №2 и аналогичную задачу решить самостоятельно.

5 этап урока. Рефлексия. (слайд 14)

Обратите еще раз внимание на эпиграф к уроку: «В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума!»

На уроке мы решали задачи, связанные с деятельностью человека. При решении

задач переходили от реальных ситуаций к их математическим моделям.

Мы убедились, что такое абстрактное понятие, как производная, помогает

решать различные жизненные задачи. Я желаю всем, чтобы ваши знания, умения

помогали вам преодолевать препятствия на жизненном пути.

Приложение

Целесообразность использования презентации на уроке

определена следующими факторами:

1. интенсификацией учебно-воспитательного процесса:

улучшением наглядности изучаемого материала,
увеличением количества предлагаемой информации,
уменьшением времени подачи материала;

2.повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой и самостоятельной деятельности учащихся.

Возможные варианты применения иллюстрированных решений

Используется учителем для объяснения решений данных заданий на уроках обобщающего повторения или на занятиях по подготовке к ЕГЭ.
Применяется учащимися в качестве самопроверки полученного решения.
Для дистанционного обучения учащихся.

infourok.ru

Задача на оптимизацию - n1.doc

приобрестиЗадача на оптимизациюскачать (159 kb.)Доступные файлы (1):

n1.doc

Задача

Предприятие выпускает продукцию двух типов П1 и П2

Запас сырья и норма расходов сырья на условную единицу продукции каждого типа даны в таблице.

Прибыль от реализации продукции типа П1 составляет Д1 денежных единиц, а прибыль от реализации продукции типа П2 составляет Д2 денежных единиц.

Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы прибыль была наибольшей.

Вид сырья	Запас сырья	Расходы на единицу продукции		Прибыль от реализации
Вид сырья	Запас сырья	П1	П2	Д1	Д2
1	20	1	4	3	3
2	40	0	1
3	11	1	1
4	10	1	0

Эту задачу можно представить так:

Сырье	Норма расхода сырья на единицу изделия		Запасы сырья
Сырье	П1	П1	Запасы сырья
1	1	4	20
2	0	1	40
3	1	1	11
4	1	0	10
Прибыль от реализации единицы изделия в д.е. (Д)	3	3

1. Математическая модель задачи

Максимизировать: Z = 3 x + 3 у при выполнении условий:

x+ 4 у ≤ 20

у ≤ 40

x + у ≤ 11

x ≤ 10

x, у ≥ 0

можно было взять х1; х2 тогда:

Максимизировать: Z = 3x1 + 3 х2 при выполнении условий:

x1 + 4 x2 ≤ 20

x2≤ 40

x1 + x2 ≤ 11

x1 ≤ 10

x1 , x2 ≥ 0

2. Построение пространства допустимых решений

1) x+ 4 у = 20

x= 0 у = 0

у = 5 x= 202) у = 40

х=0, у =40

3) x + у =11x= 0 x= 11

у = 11 у = 03) x =10

x= 10

у = 0

3. Решение задачи графически

На основании полученных данных строим график.

У
20
18
16
14
12
10
8
6 В					А
4
2							С
0	2	4	6	8	10	12	14	16	14	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	Х

По графику у =3; х = 8

Проверяем:

(*) А – точка пересечения прямых (1) и (3):

1) x+ 4 у = 20

3) x + у =11

Вычтем из уравнения (1) уравнение (3):

3у = 9 → у = 3; тогда х = 8

Полученные значения должны удовлетворять условиям

x+ 4 у ≤ 20

у ≤ 40

x + у ≤ 11

x ≤ 10

x, у ≥ 0

проверяем:

8 + 4* 3 =20 ≤ 20

3 ≤ 40

8 + 3 = ≤ 11

8 ≤ 10

Область допустимых решений – пространство, ограниченное ломаной ОВАС. Любая точка, расположенная внутри или на границе области является допустимым решением, т.е. удовлетворяет всем ограничениям.

4. Нахождение оптимального решения

Максимум функции может находиться в вершинах многоугольника ОАВС.

1) Проверим точки А, В, С на оптимальность:

Точка А (8; 3)

Z = 3 x + 3 у =3*8 + 3*3 = 33 д.е. →max

Точка В (0; 5)

Z = 3 x + 3 у =3*0 + 3*5= 15 д.е.

Точка С (11; 0)

Z = 3 x + 3 у =3*11 + 3*0 = 33 д.е. →max

5. Решение задачи симплекс-методом

x+ 4 у ≤ 20

у ≤ 40

x + у ≤ 11

x ≤ 10

x, у ≥ 0

Z = 3x + 3у +0x2 + 0x3 + 0x4 + 0 х5

при ограничениях:

x+ 4 у + x2 = 20

у + x3= 40

x + у + x4= 11

x + x5 = 10

Z - 3x – 3у = 0

Базис	Z	x	у	x2	x3	x4	x5	Решение	Отношение
Z	1	-3	-3	0	0	0	0	0	-
x2	0	1	4	1	0	0	0	20	:1= 20
x3	0	0	1	0	1	0	0	40	:0=∞
x4	0	1	1	0	0	1	0	11	:1=11
x5	0	1	0	0	0	0	1	10	:1 =10

ведущая строка

ведущий столбец

Обычно выбирают ведущим тот столбец, где значение минимально, в нашем случае минимальное значение (-3).

Ведущей строкой выбираем ту, где минимальное неотрицательное значение, полученное в результате деления столбца «Решение» на значение в ведущем столбце.

Таким образом, 1 – ведущий элемент.

Процесс вычисления нового базисного решения основан на методе Гаусса-Жордана, и состоит из двух этапов.

Вычисление элементов новой ведущей строки.

Новая ведущая строка = Текущая строка/ Ведущий элемент.

Вычисление элементов остальных строк, включая Z- строку.

Новая строка = Текущая строка – Ее коэффициент в ведущем столбце* Новая ведущая строка.

Поэтому сначала ведущую строку делим на ведущий элемент:

Новая ведущая строка:

Например:

Текущая Z- строка:	1	-3	-3	0	0
Новая ведущая строка:	0	1	0	1	10
(-3)* Новая ведущая строка:	0	-3	0	-3	-30
(стр.1-стр 3)=Новая Z- строка:	1	0	-3	3	30

Так же с остальными строками:

x2	1	4	1	0	20
Новая ведущая строка:	1	0	0	1	10
(1)* Новая ведущая строка:	1	0	0	1	10
(стр.1-стр 3)=Новая x2- строка:	0	4	1	- 1	10

x3	0	1	1	0	40
Новая ведущая строка:	1	0	0	1	10
(0)* Новая ведущая строка:	0	0	0	0	0
(стр.1-стр 3)=Новая x3- строка:	0	1	1	0	40

x4	1	1	1	0	11
Новая ведущая строка:	1	0	0	1	10
(1)* Новая ведущая строка:	1	0	0	1	10
(стр.1-стр 3)=Новая x4- строка:	0	1	1	0	1

Новое базисное решение:

Так как в Z- строке есть отрицательная величина, то полученное решение не оптимально.

Базис	Z	x	у	x2	x3	x4	x5	Решение	Отношение
Z	1	0	-3	0	0	0	3	30
х2	0	0	4	1	0	0	- 1	10	: 4=2,5
x3	0	0	1	0	1	0	0	40	: 1= 40
x4	0	0	1	0	0	1	0	1	: 1 =1
х	0	1	0	0	0	0	1	10	:0 = ∞

ведущий столбец

ведущая строка

Новая ведущая строка: у встает на место x4

Текущая Z- строка:	1	-3	0	3	30
Новая ведущая строка:	0	1	1	0	1
(-3)* Новая ведущая строка:	0	-3	-3	0	-3
(стр.1-стр 3)=Новая Z- строка:	1	0	3	3	33

х2	4	1	0	- 1	10
Новая ведущая строка:	1	0	1	0	1
(4)* Новая ведущая строка:	4	0	4	0	4
(стр.1-стр 3)=Новая x2- строка:	0	1	-4	- 1	6

x3	1	1	0	40
Новая ведущая строка:	1	0	1	1
(1)* Новая ведущая строка:	1	0	1	1
(стр.1-стр 3)=Новая x3- строка:	0	1	-1	39

х	1	0	0	1	10
Новая ведущая строка:	0	1	1	0	1
(0)* Новая ведущая строка:	0	0	0	0	0
(стр.1-стр 3)=Новая x- строка:	1	0	0	1	10

В итоге получаем:

Базис	Z	x	у	x2	x3	x4	x5	Решение
Z	1	0	0	0	0	3	3	33
х2	0	0	0	1	0	-4	- 1	6
x3	0	0	0	0	1	-1	0	39
у	0	0	1	0	0	1	0	1
х	0	1	0	0	0	0	1	10

Поскольку Z- строка не имеет отрицательных элементов, полученное решение оптимально.

Z = 33 д.е.

При х = 10, у =1

Данное решение входит в область допустимых значений.

nashaucheba.ru

Лучшие задачи на оптимизацию налогов

1. Фиксированные взносы.

Эти взносы платит любой ИП, независимо от региона и режима налогообложения (зарегистрировал ИП - платишь взносы):

Взнос в пенсионный - 26 545,

взнос в медицинский - 5 840.

Итого: 32 385.

Также ИП платит дополнительный взнос в пенсионный фонд в размере 1% от выручки, превышающей 300 000. На патенте за выручку для расчета данного налога принимается ПОТЕНЦИАЛЬНО ВОЗМОЖНЫЙ ДОХОД, который указан на обратной стороне патента. На ЕНВД за выручку принимается ВМЕНЕНЫЙ ДОХОД. То есть, как видите, от реальной выручки дополнительный взнос не зависит.

2. Стоимость патента.

Стоимость патента можно рассчитать в патентном калькуляторе на сайте ИФНС: http://patent.nalog.ru/info/

Стоимость патента зависит от региона. Для Великого Новгорода - 18 000 в год

Для Нижнего Новгорода - 21 000 в год.

А теперь вернемся к дополнительному взносу в ПФ, так как он зависит от потенциально возможного дохода, указанного в патенте. Потенциально возможный доход можно определить обратным счетом: стоимость патента - это 6% от потенциально возможного дохода:

Великий Новгород - 18000/6х100=300000, нет дополнительного взноса в ПФ

Нижний Новгород - 21000/6х100=350000, дополнительный взнос в ПФ - 500 руб (350000-300000)х1%

3. Размер налога по ЕНВД на 2018

ЕНВД составит 15% от суммы вмененного дохода. Сумма вмененного дохода рассчитывается так:

Количество посадочных мест (у нас 4) х базовая доходность в месяц (1500 руб) х К1 (1,868) х К2 (устанавливает регион) х 12 месяцев

Таким образом, расчет для любого региона одинаковый, отличается только на коэффициент К2. Этот коэффициент не может быть больше 1.

Коэффициент К2 по каждому региону можно посмотреть на сайте ИФНС по этой ссылке: https://www.nalog.ru/rn66/taxation/taxes/envd/#title18. (перейти по ссылке - вернуться к началу страницы - выбрать свой регион - перейти в раздел "Особенности регионального законодательства)

К2 для Великого Новгорода - 1

К2 для Нижнего Новгорода - 1

Таким образом, сумма вмененного дохода в год будет одинаковая:

4 х 1500 х 1,868 х 1 х 12 = 134 496

Дополнительный взнос в ПФ в этом случае не платится, так как сумма вмененного дохода в год меньше 300 000.

Сумма единого налога составит 15% : 134 496 х 15% = 20 174

ВАЖНО!!! У ЕНВД есть значительный плюс по сравнению с патентом. Сумму налога можно уменьшить на страховые взносы, причем для ИП без наемных работников не действуют какие либо ограничения, сумму можно уменьшить до 0.

Таким образом, на ЕНВД таксист заплатит только фиксированные взносы. Так как они превышают сумму ЕНВД - этот налог платиться вообще не будет!!!

Таким образом, конечно ЕНВД выгоднее. Смотрите сравнительную таблицу:

finver.ru

Урок математики на тему «Решение задач на оптимизацию с помощью производной»

Группа	12Х
Тема	Дифференцирование функции
Тема урока	Решение задач на оптимизацию с помощью производной
Вид урока	Урок-обобщение
Цели урока: - сформировать у учащихся представление о задачах, решаемых методами математического анализа; - закрепить умения вычислять производную, находить максимум и минимум функции; - обучить составлению математической модели практической задачи на оптимизацию; - отработать решение задач по составленному алгоритму.
Компетенции, формируемые на уроке	Общекультурные, учебно-познавательные, информационные, коммуникативные.
Оборудование	Справочные таблицы, раздаточный материал, тексты с заданиями для самостоятельной работы.
ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА
ЭТАП 1	Организация начала занятия, обеспечение полной готовности к работе
Цели	Сообщение темы урока, постановка цели урока, сообщение этапов урока
Длительность этапа	3 минуты
Форма организации деятельности учащихся	Фронтальная
Содержание	1. Дежурные, раздать тетради. 2. Проверить наличие. 3. Сформулировать тему урока Решение задач на оптимизацию методами математического анализа.
ЭТАП 2	Актуализация опорных знаний
Цели	Повторить основные понятия. Проверить готовность к работе с изученными понятиями. Закрепить изученный материал.
Длительность этапа	5 минут
Форма организации деятельности учащихся	Индивидуальная (при выполнении проверочной работы), коллективная (при проверке)
Функции преподавателя на данном этапе	Организационная
Основные виды деятельности преподавателя	Координатор действий
Основные виды деятельности студента	Заполнение индивидуального листа-самоконтроля (бумажный вариант). Проверка результатов по образцу.
Содержание Сегодня нам на занятии понадобятся знания по вычислению производной элементарных функций и алгоритм вычисления наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке с помощью производной. Заполнить таблицы в Приложении 1
ЭТАП 3	Мотивация
Цель	Настроить учащихся на формулировку целей и организацию своей деятельности
Длительность этапа	7мин
Форма организации деятельности учащихся	Фронтальная
Функции преподавателя на данном этапе	Организует беседу, обобщает
Основные виды деятельности преподавателя	Ставит проблемную задачу
Основные виды деятельности студента	Внимательно слушают, обсуждают предложенное задание, формулируют цель.
Содержание	1. В рассказе Л.Н. Толстого “Много ли человеку земли надо” крестьянин Пахом мечтает о собственной земле. Когда он, наконец, собрал желаемую сумму и предстал перед барином, тот ответил ему: “Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на место, с которого вышел, пропали твои деньги”. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств…. Скажите, какую геометрическую фигуру должен был обойти Пахом, чтобы получить максимальную площадь земли? Ведь возможности Пахома не безграничны. Ответы студентов. 2. Несколько упростим задачу: каким должен быть прямоугольник, чтобы его площадь при заданном периметре была максимальной? Задачи такого типа, называемые задачами на оптимизацию, хорошо решаются методами математического анализа с помощью производной. При решении таких задач выделяют три этапа: 1) моделирование; 2) решение внутри математической проблемы; 3) критическое осмысление полученных результатов.
ЭТАП 4	Изучение и закрепление нового материала
Цели	- создать технологическую карту решения задач данного типа при решении задачи-образца; - решить с использованием данной карты предложенные задачи (фронтально).
Длительность этапа	50 минут
Форма организации деятельности учащихся	Смотрят презентацию, слушают учителя, записывают в тетрадь
Функции преподавателя на данном этапе	Объясняет новый материал
Основные виды деятельности преподавателя	Организует беседу, обобщает
Основные виды деятельности студента	Запись определений, отметка о выполнении в индивидуальном листе самоконтроля.
Содержание 1. Условие задачи. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник периметром 40 км? Заполнение таблицы в Приложение 2. 2. Решение задачи 2.Заполнение таблицы. 3. Решение задачи 3. Заполнение таблицы.
ЭТАП 5	Закрепление полученных знаний
Цели	Закрепить полученные знания, начать вырабатывать умения по их применению. Работа по парам. Формирование умений и навыков применять полученные знания в ходе решения типичных задач.
Длительность этапа	15 минут
Форма организации деятельности учащихся	Работают в парах: выполняют задания по учебнику
Функции преподавателя на данном этапе	Консультирование, контроль
Основные виды деятельности преподавателя	Отвечает на вопросы учащихся, возникших в ходе выполнения самостоятельной работы
Основные виды деятельности студента	Заполнение индивидуального листа-самоконтроля (бумажный вариант).
Содержание Задание 4. Выбрать из предложенных задач ту, что решается с помощью данного метода и решить ее.
ЭТАП 6	Подведение итогов занятия. Объяснение домашнего задания
Цели	Разбор сложных заданий. Обобщение знаний, полученных на уроке. Дать анализ и оценку успешности достижения цели. Объяснение домашнего задания
Длительность этапа	5 минут
Форма организации деятельности учащихся	Записывают домашнее задание: придумать аналогичную задачу, записать ее и решить в соответствии с данной схемой.
Функции преподавателя на данном этапе	Координатор
Основные виды деятельности преподавателя	Выполняет инструктаж по домашнему заданию
Основные виды деятельности студента	Заполнение индивидуального листа-самоконтроля (бумажный вариант).
ЭТАП 7	Окончание урока
Цель	Отметить ответы учащихся. Рефлексия занятия, Поблагодарить за сотрудничество и успешную работу.
Длительность этапа	5 минут

www.ug.ru

Исследовательский проек "Задачи на оптимизацию"

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Орган местного самоуправления

«Управление образования города Каменска-Уральского»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №31»

«Определение оптимального маршрута»

(Проект)

Автор:

Воронина Валерия, 5 «Б»

Руководитель:

Воронина Наталья Викторовна

Каменск – Уральский

2014

Содержание

Введение 3

1. Теоретическая часть 5

1.1 Постановка задачи оптимизации 5 1.2 Решение задач ЕГЭ на оптимизацию 6

2. Проектная часть 8

2.1 Выбор маршрута 8

2.2 Расчет времени 12

2.3 Расчет денежных средств 13

Заключение 14

Список литературы 15

Введение

На уроке математики мы писали сочинение «Математика в жизни человека». Я задумалась, где можно использовать математические знания в практической деятельности человека. Да, конечно, в магазине, надо считать деньги, взвешивать товар, рассчитывать стоимость покупки. А еще можно рассчитать время в пути, если знаешь расстояние и скорость. А интересно, можно рассчитать кротчайший путь между объектами, самую дешевую поездку.

Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом. В таких случаях приходится отыскивать наилучший способ. Однако в различных ситуациях наилучшими могут быть совершенно разные решения. Все зависит от выбранного или заданного критерия. На практике оказывается, что в большинстве случаев понятие «наилучший» может быть выражено количественными критериями – минимум затрат, минимум времени, максимум прибыли и т.д. Поэтому возможна постановка математических задач отыскания оптимального (optimum – наилучший) результата, так как принципиальных различий в отыскании наименьшего или наибольшего значения нет. Задачи на отыскание оптимального решения называются задачами оптимизации. Оптимальный результат, как правило, находится не сразу, а в результате процесса, называемого процессом оптимизации.

Знание методов нахождения оптимального решения позволяет инженеру и офицеру выбирать наиболее эффективные и самые экономичные способы эксплуатации и ремонта машин, находить оптимальные решения тактических задач.

Цель проекта: отыскание пути от дома до сада с наименьшими затратами и временем.

Задачи:

постановка задачи оптимизации;
рассмотреть задачи ЕГЭ на оптимизацию;
определить маршруты от дома до сада;
рассчитать время и расходы на преодоление пути.

Теоретическая часть

1.1 Постановка задачи оптимизации

На протяжении всей своей эволюции человек, совершая те или иные деяния, стремился вести себя таким образом, чтобы результат, достигаемый как следствие некоторого поступка, оказался в определенном смысле наилучшим. Двигаясь из одного пункта в другой, он стремился найти кратчайший среди возможных путь. Строя жилище, он искал такую его геометрию, которая при наименьшем расходе топлива, обеспечивала приемлемо комфортные условия существования. Занимаясь строительством кораблей, он пытался придать им такую форму, при которой вода оказывала бы наименьшее сопротивление. Можно легко продолжить перечень подобных примеров.

Наилучшие в определенном смысле решения задач принято называть оптимальными. Без использования принципов оптимизации в настоящее время не решается ни одна более или менее сложная проблема.

Постановка задачи на оптимизацию и ее решение включает в себя ряд этапов:

- выбор и обоснование цели оптимизации;

- согласование цели с имеющимися возможностями, т.е. учет ограничений;

-реализация способа достижения цели при учете ограничений.

Выбор и обоснование цели оптимизации предусматривают определение критериев качества, которые наиболее полно отражали бы цели оптимизации. Этот этап является одним из основных, так как от правильности выбора критерия качества зависит решение задачи в целом.

Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации. Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев – не возможно. При наличие ЭВМ задача заметно упрощается.

1.2 Решение задач ЕГЭ на оптимизацию

Задача 1. Семья из трех человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей. Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19 рубля за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?

Решение:

660∙3=1980(р) – потратит семья из трех человек на поезде
8∙7∙19=1064(р) – потратит семья, если поедет на машине

Ответ: за наиболее дешевую поездку придется заплатить 1064 рубля, это будет поездка на автомобиле.

Задача 2. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

От станции до дачи От станции до дачи пешком 20 мин.

Маршрутным такси

От дома до остановки маршрутного такси — 25 мин.

Маршрутное такси в дороге: 1 ч 35 мин.

От остановки маршрутного такси до дачи пешком 40 мин.

Решение:

15мин+2ч 15мин+5мин=2ч 35мин – можно доехать от дома до дачи на автобусе
25мин+1ч 45мин+20мин=2ч 30мин – можно доехать от дома до дачи на электричке
25мин+1ч 35мин+40мин=2ч 40мин – можно доехать от дома до дачи на маршрутном такси.

Ответ: наименьшее время на дорогу 2ч 30мин = 2,5часа (на электричке)

Задача 3. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Автомобиль Топливо Расход топлива Арендная плата

(л на 100 км) (руб. за 1 сутки)

А Дизельное 7 3700

Б Бензин 10 3200

В Газ 14 3200

Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина —- 22 рублей за литр, газа — 14 рублей за литр.

Решение:

7∙5∙19+3700=4365(р) – заплатит клиент за автомобиль А
10∙5∙22+3200=4300(р) – заплатит клиент за автомобиль Б
14∙5∙14+3200=4180(р) – заплатит клиент за автомобиль В.

Ответ: самый дешевый вариант - автомобиль В, 4180 рублей.

Проектная часть

2.1 Выбор маршрута

Я хочу выбрать маршрут от моего дома, по адресу: Кирова 55 – 4, до сада за деревней Новый Завод.

До сада можно добраться тремя способами: на машине, на автобусе, пешком.

МАРШРУТ 1. На машине до сада можно добраться через Старый Каменск, по улице Ленинградской Ленинского поселка, через переезд, мимо Нового Завода.

МАРШРУТ 2. Отправляясь до сада на автобусе, мы выбираем маршрут двенадцатого автобуса.

МАРШРУТ 3. Если мы идем пешком, то наш путь пройдет по улице Проспект Победы, мимо профилактория «Чистый ключ», через лес, по висячему мосту, вдоль железнодорожного полотна, около деревни Новый Завод.

Маршрут 2

Маршрут 1

Маршрут 3

2.2 Расчет времен

Рассчитаем время в пути, если будем двигаться по первому маршруту.

От дома до стоянки

Машина в пути

На машине

5 мин

15 мин

От дома до сада на машине можно доехать за 20 минут.

Рассчитаем время в пути, если будем двигаться по второму маршруту.

От дома до остановки

Автобус в пути

От остановки до сада

На автобусе

3 мин

30 мин

7 мин

От дома до сада на автобусе можно добраться за 40 минут.

Рассчитаем время в пути, если будем двигаться по третьему маршруту.

От дома до сада

Пешком

1час 10 мин

От дома до сада пешком можно дойти за 1 час 10 минут.

Вывод: быстрее всего до сада можно добраться на автомобиле за 20 минут.

2.3 Расчет денежных средств

Рассчитаем какой из трех маршрутов будет самым экономичным. Очевидно, если мы идем пешком, то это бесплатно, но я выяснила, что это очень долго. Поэтому надо выбирать между автобусом и машиной.

Маршрут 1. Если мы отправляемся на сад всей семьей, это 4 человека.

Маршрут 2. Сколько будет стоить проезд до сада на автобусе, для двух взрослых и двух детей школьного возраста.

Стоимость проезда на автобусе 56 рублей.

Вывод: 1) самый дешевый проезд на автомобиле ВАЗ 2107;

2) если автомобиль не экономичный, то дешевле ехать на автобусе;

3) одному человеку выгоднее использовать автобус;

4) на автомобиле митсубиси надо перевозить 5 человек, чтобы поездка была экономичной.

Заключение

До работы над этим проектом я не задумывалась, каким способом добираться из одного пункта в другой. Что от транспортного средства зависит время и стоимость поездки.

Теперь я знаю, что собираясь в путешествие, можно рассчитать не только время в пути, но и затраты, а значит можно выбрать оптимальный вариант.

А еще, я заглянула немножко в будущее, попробовала решить несколько задач из открытого банка ЕГЭ по математике. По окончании 11 класса нам всем предстоит сдавать экзамен по математике, поэтому подготовка к ним очень важна.

Список литературы

Открытый банк заданий ЕГЭ по математике (mathege.ru).
А.Г.Трифонов. «Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения», 2007г.

Выступление

Так появилась цель проекта: отыскание пути от дома до сада с наименьшими затратами и временем.

Задачи:

постановка задачи оптимизации;
рассмотреть задачи ЕГЭ на оптимизацию;
определить маршруты от дома до сада;
рассчитать время и расходы на преодоление пути.

Я хочу выбрать маршрут от моего дома, по адресу: Кирова 55 – 4, до сада за деревне Новый Завод.

До сада можно добраться тремя способами: на машине, на автобусе, пешком.

МАРШРУТ 2. Отправляясь до сада на автобусе, мы выбираем маршрут двенадцатого автобуса.

Рассчитаем время в пути, если будем двигаться по первому маршруту.

От дома до стоянки

Машина в пути

На машине

5 мин

15 мин

От дома до сада на машине можно доехать за 20 минут.

Рассчитаем время в пути, если будем двигаться по второму маршруту.

От дома до остановки

Автобус в пути

От остановки до сада

На автобусе

3 мин

30 мин

7 мин

От дома до сада на автобусе можно добраться за 40 минут.

Рассчитаем время в пути, если будем двигаться по третьему маршруту.

От дома до сада

Пешком

1час 10 мин

От дома до сада пешком можно дойти за 1 час 10 минут.

Получили, что быстрее всего до сада можно добраться на автомобиле за 20 минут.

Маршрут 1. Если мы отправляемся на сад всей семьей, это 4 человека.

Маршрут 2. Сколько будет стоить проезд до сада на автобусе, для двух взрослых и двух детей школьного возраста.

Стоимость проезда на автобусе 56 рублей.

Вывод: 1) самый дешевый проезд на автомобиле ВАЗ 2107;

2) если автомобиль не экономичный, такой как митсубиси паджера, то дешевле ехать на автобусе;

3) одному человеку выгоднее использовать автобус;

4) на автомобиле митсубиси надо перевозить 5 человек, чтобы поездка была экономичной.

А еще, я заглянула немножко в будущее, попробовала решить несколько задач на оптимизацию из открытого банка ЕГЭ по математике, решения приводятся в проекте. По окончании 11 класса нам всем предстоит сдавать экзамен по математике, поэтому подготовка к ним очень важна.

infourok.ru

Видеолекция "Решение задач на оптимизацию"

В видеолекции "Решение задач на оптимизацию" на примере решения задач, которые в различные годы предлагались на вступительных экзаменах в МГУ, подробно описаны различные подходы и методы решения задач на оптимизацию.

Содержание видеолекции:

1. На счет, который вкладчик имел в начале первого квартала, начисляется в конце этого квартала процентов, а на тот счет, который вкладчик имел в конце второго квартала, начисляется в конце этого квартала процентов, причем . Вкладчик положил на счет в начале первого квартала некоторую сумму и снял в конце того же квартала половину этой суммы. При каком значении счет вкладчика в конце второго квартала окажется максимально возможным? (МГУ, ИСАА, 3(6)б 1995)

2. Предприятие производит телевизоры и является прибыльным. Известно, что при изготовлении телевизоров в месяц расходы предприятия на выпуск одного телевизора составляют не менее тыс. руб., а цена реализации каждого телевизора при этом не превосходит тыс. руб. Определите ежемесячный объем производства, при котором может быть получена наибольшая из возможных в данных условиях ежемесячная прибыль. (МГУ, Экономический ф-т, 5(6), 1994)

3 Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов. Для сборки 12-квартирного дома необходимо 70 деталей первого и 100 деталей второго типа. Для 16-квартирного дома требуется 110 и 150, а для дома на 21 квартиру нужно 150 и 200 деталей первого и второго типа соответственно. Всего имеется 900 деталей первого и 1300 деталей второго вида. Сколько и каких домов нужно собрать, чтобы общее количество квартир было наибольшим?(МГУ, Экономический ф-т, 5(6), 1984)

4 С завода на стройку нужно перевезти 24 больших и 510 маленьких бетонных блоков. Доставка блоков осуществляется автомашинами, каждая из которых вмещает в себя 44 маленьких блока и имеет грузоподъемность 10 тонн. Вес маленького блока - 0,2 тонны, большой блок весит 3,6 тонны и занимает место 14 маленьких. Найти минимальное число рейсов. (МГУ, ВМиК, 5(6), 1987)

5 Цех получил заказ на изготовление 2000 деталей типа А и 14000 деталей типа Б. Каждый из 146 рабочих цеха затрачивает на изготовление одной детали типа А время, за которое он мог бы изготовить 2 детали типа Б. Каким образом следует разделить рабочих цеха на две бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно, и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного типа. (МГУ, Экономический ф-т, 3(6), 1992)

6. Строительной организации необходимо построить некоторое количество одинаковых домов общей площадью м. Стоимость одного дома площадью a м складывается из стоимости материалов тыс. руб., стоимости строительных работ тыс. руб., и стоимости отделочных работ . Числа являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна 21, а их произведение равно 64. Если построить 63 дома, то затраты на материалы будут меньше, чем затраты на на строительные и отделочные работы. Сколько следует построить домов, чтобы общие затраты были минимальными. (МГУ, ВМиК, 5(6), 1995)

7. В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов. Стоимость и вес одного изделия составляют 400 тыс. руб. и 12 кг для первого типа, 500 тыс. руб. и 16 кг для второго типа, 600 тыс. руб. и 15 кг для третьего типа. Общий вес комплектующих равен 326 кг. Определите минимальную и максимальную возможную стоимость находящихся в контейнере комплектующих изделий. (МГУ, Экономический ф-т, 4(6), 1996)

8. Бригада рабочих выполняет задание за 42 дня. Если бы в бригаде было на 4 человека больше и каждый рабочий бригады работал бы на 1 час в день дольше, то это же задание было бы выполнено не более чем за 30 дней. При увеличении бригады еще на 6 человек и рабочего дня еще на 1 час, все задание было бы закончено не ранее чем через 21 день. Определите наименьшую при данных условиях численность бригады, а также продолжительность рабочего дня. (МГУ, Экономический ф-т, 4(6), 2002)

9. Химический комбинат получил заказ на изготовление этилового спирта, соляной кислоты и дистиллированной воды. Для готовой продукции потребовалась 21 железнодорожная цистерна. При перекачивании были использованы три специализированных насоса: сначала первый насос заполнил четыре цистерны этиловым спиртом, затем второй насос заполнил шестнадцать цистерн соляной кислотой и в завершение третий насос заполнил одну цистерну дистиллированной водой. Найдите минимально возможное время, затраченное на перекачивание всей продукции, если известно, что суммарная производительность всех трёх насосов равна семи цистернам в сутки. (МГУ, ф-т государственного управления, 7(7), 2006)

10. Автофургон грузоподъемностью 339 кг перевозит ящики с виноградом и яблоками. Вес и стоимость одного ящика с виноградом составляют 15 кг и 10 условных единиц, ящика с яблоками – 27 кг и 8 условных единиц. Известно, что количество загруженных на автофургон ящиков с виноградом составляет не более 70% от количества загруженных ящиков с яблоками. Определите наибольшую возможную стоимость всех ящиков с виноградом и яблоками, перевозимых автофургоном при данных условиях. (МГУ, Экономический ф-т, 5(7), 2004)

Фрагмент видеолекции:

Купить видеолекцию.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru